Trang chủ Lớp 11 SBT Toán 11 Nâng cao Câu 3.73 trang 97 SBT Đại số 11 Nâng cao: Cho dãy...

Câu 3.73 trang 97 SBT Đại số 11 Nâng cao: Cho dãy số...

Chia sẻ
Cho dãy số. Câu 3.73 trang 97 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao – Ôn tập chương III – Dãy số cấp số cộng và cấp số nhân

Cho dãy số \(({u_n})\) xác định bởi  \({u_1} = 1\) và \({u_{n + 1}} = \sqrt {u_n^2 + 2} \) với mọi \(n \ge 1.\)

a) Chứng minh rằng dãy số \(({u_n})\), mà \({v_n} = u_n^2\) với mọi \(n \ge 1,\) là một cấp số cộng. Hãy xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó.

b) Hãy xác định số hạng tổng quát của dãy số \(({u_n})\).

c) Tính tổng \(S = u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + …. + u_{1001}^2.\)

Giải

a) Từ hệ thức xác định dãy số \(({u_n})\) suy ra với mọi \(n \ge 1\)

          \(u_{n + 1}^2 = u_n^2 + 2,\) hay \({v_{n + 1}} = {v_n} + 2.\)

Do đó, dãy số \(({v_n})\) là một cấp số cộng với số hạng đầu \({v_1} = u_1^2 = 1\) và công sai \(d = 2.\)

b) Từ định nghĩa dãy số \(({u_n})\) và dãy số \(({v_n})\) dễ dàng suy ra \({u_n} > 0\) và \({v_n} > 0\) với mọi \(n \ge 1.\) Từ đó, ta có \({u_n} = \sqrt {{v_n}} \) với mọi \(n \ge 1.\)

Từ kết quả phần a) suy ra : \({v_n} = 1 + \left( {n – 1} \right).2 = 2n – 1\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {\forall n \ge 1} \right).\) Vì thế

                      \({u_n} = \sqrt {2n – 1} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(\forall n \ge 1).\)

c) \(S = u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + …. + u_{1001}^2\)

       \( = {v_1} + {v_2} + {v_3} + … + {v_{1001}} \)

       \(= {{1001.\left( {2.1 + \left( {1001 – 1} \right).2} \right)} \over 2} = 1002001.\)


Loading...