Trang chủ Lớp 11 SBT Toán 11 Nâng cao Câu 4 trang 114 SBT Hình 11 nâng cao: Vì ABCD là...

Câu 4 trang 114 SBT Hình 11 nâng cao: Vì ABCD là hình bình hành nên...

Câu 4 trang 114 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao. \({{SA} \over {S{A_1}}} + {{SC} \over {S{C_1}}} = {{SB} \over {S{B_1}}} + {{S{\rm{D}}} \over {S{{\rm{D}}_1}}}\). Bài 1. Vectơ trong không gian. Sự đồng phẳng của các vectơ

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Một mặt phẳng (P) bất kì không đi qua S, cắt các cạnh bên SA, SB, SC, SD lần lượt tại các điểm \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\) . Dùng phương pháp vectơ, chứng minh rằng

\({{SA} \over {S{A_1}}} + {{SC} \over {S{C_1}}} = {{SB} \over {S{B_1}}} + {{S{\rm{D}}} \over {S{{\rm{D}}_1}}}\)

 

Vì ABCD là hình bình hành nên

\(\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  = \overrightarrow {SB}  + \overrightarrow {S{\rm{D}}} \)

hay \(\overrightarrow {S{\rm{D}}}  = \overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  – \overrightarrow {SB} \)

Đặt

Quảng cáo

\(\eqalign{  & \overrightarrow {SA}  = a\overrightarrow {S{A_1}} ,\overrightarrow {SB}  = b\overrightarrow {S{B_1}} ,  \cr  & \overrightarrow {SC}  = c\overrightarrow {S{C_1}} ,\overrightarrow {S{\rm{D}}}  = d\overrightarrow {S{{\rm{D}}_1}}  \cr} \)

(với a, b, c, d là các số lớn hơn 1)

Khi đó:

\(\eqalign{  & {{SA} \over {S{A_1}}} + {{SC} \over {S{C_1}}} = a + c  \cr  & {{SB} \over {S{B_1}}} + {{S{\rm{D}}} \over {S{{\rm{D}}_1}}} = b + d \cr} \)

\(\eqalign{  & \overrightarrow {S{{\rm{D}}_1}}  = {1 \over d}.\overrightarrow {S{\rm{D}}}  = {1 \over d}\left( {\overrightarrow {SA}  + \overrightarrow {SC}  – \overrightarrow {SB} } \right)  \cr  &  = {1 \over d}\left( {a\overrightarrow {S{A_1}}  + c\overrightarrow {S{C_1}}  – b\overrightarrow {S{B_1}} } \right)  \cr  &  = {a \over d}.\overrightarrow {S{A_1}}  + {c \over d}.\overrightarrow {S{C_1}}  – {b \over d}.\overrightarrow {S{B_1}}  \cr} \)

Mặt khác các điểm \({A_1},{B_1},{C_1},{D_1}\) thuộc mặt phẳng, nên từ đẳng thức đó suy ra

\({a \over d} + {c \over d} – {b \over d} = 1\)

tức là a + c = b + d

Như vậy  \({{SA} \over {S{A_1}}} + {{SC} \over {S{C_1}}} = {{SB} \over {S{B_1}}} + {{S{\rm{D}}} \over {S{{\rm{D}}_1}}}\).

Quảng cáo