Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bằng m, các góc tại A bằng 600 (^BAD=^A′AB=^A′AD=600) . Gọi P và Q là các điểm xác định bởi →AP=→D′A,→C′Q=→DC′. Chứng minh rằng đường thẳng PQ đi qua trung điểm của cạnh BB’. Tính độ dài đoạn thẳng PQ.
Đặt →AA′=→a,→AB=→b,→AD=→c .
Ta có: →a.→b=→b.→c=→c.→a=12m2
và →a2=→b2=→c2=m2 .
Gọi M là trung điểm của BB’ thì
→MP=→MB+→BA+→AP.
Do →AP=→D′A=−→a−→c.
Advertisements (Quảng cáo)
nên
→MP=−→a2−→b−→a−→c=−32→a−→b−→c
Mặt khác
\(\eqalign{
& \overrightarrow {MQ} = \overrightarrow {MB’} + \overrightarrow {B’C’} + \overrightarrow {C’Q} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \overrightarrow {MB’} + \overrightarrow {B’C’} + \overrightarrow {DC’} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {3 \over 2}\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c \cr} \)
Như vậy →MP=−→MQ , tức là ba điểm P, M, Q thẳng hàng hay đường thẳng PQ đi qua trung điểm của cạnh BB’.
Ta có:
