Chứng tỏ bốn điểm sau đây là bốn đỉnh của một hình bình hành và tính diện tích của hình bình hành đó: (1; 1; 1), (2; 3; 4), (6; 5; 2), (7; 7; 5).
Ta gọi A(1;1;1), B(2;3;4); C(7;7;5); D(6; 5; 2)
Khi đó \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} = (1;2;3).\) Vậy ABCD là hình bình hành.
Suy ra \({S_{ABCD}} = \left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right]} \right|\)
Ta có :
\(\eqalign{ & \overrightarrow {AB} = (1;2;3),\overrightarrow {AD} = (5;4;1) \cr & \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \left( {\left| \matrix{ 2 \hfill \cr 4 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ 3 \hfill \cr 1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ 3 \hfill \cr 1 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ 1 \hfill \cr 5 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ 1 \hfill \cr 5 \hfill \cr} \right.\left. \matrix{ 2 \hfill \cr 4 \hfill \cr} \right|} \right)\cr& \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= ( – 10;14; – 6) \cr & \Rightarrow {S_{ABCD}} = \sqrt {{{( – 10)}^2} + {{14}^2} + {{( – 6)}^2}} \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \sqrt {332} = 2\sqrt {83} . \cr & \cr} \)