Bài 18 trang 118 SBT Hình 12 Nâng Cao: Trong không gian cho ba tia Ox, Oy, Oz....

Trong không gian cho ba tia Ox, Oy, Oz.Chứng minh rằng nếu tia Ox vuông góc với tia phân giác của góc $\widehat {yOz}$ thì $\widehat {xOy} + \widehat {xOz} = {180^0}.$

Trên Ox, Oy, Oz lần lượt lấy ba điểm A, B, C sao cho :

OA=OB=OC=1.

Khi đó vectơ $\overrightarrow u  = \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}$ là vec tơ chỉ phương của tia phân giác trong của góc yOz. Từ giả thiết ta suy ra :

$\eqalign{  & \overrightarrow {OA} .\overrightarrow u  = 0  \cr  &  \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} .\left( {\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} } \right) = 0  \cr  &  \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OC}  = 0 \cr}$

$\Leftrightarrow OA.OB.\cos \widehat {xOy}$ +OA.OC.cos$\widehat {xOz} = 0$

$\Leftrightarrow$cos$\widehat {xOy}$ + cos$\widehat {xOz} = 0$

$\Rightarrow \widehat {xOy} + \widehat {xOz} = {180^0}$