Bài 19 trang 118 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao: Cho hai vectơ...

a) Cho hai vectơ $\overrightarrow a (1;m; - 1)$ và $\overrightarrow b (2;1;3).$ Tìm m để $\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b .$

b) Cho hai vectơ $\overrightarrow a (1;{\log _3}5;m)$ và $\overrightarrow b (3;{\log _5}3;4).$ Tìm m để $\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b .$

c) Cho hai vec tơ $\overrightarrow a (2;\sqrt 3 ;1)$ và $\overrightarrow b (\sin 5t;cos3t;sin3t).$ Tìm t để $\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b .$

d) Cho vectơ $\overrightarrow a (2\sqrt 2 ; - 1;4).$ Tìm vectơ $\overrightarrow b$ cùng phương với $\overrightarrow a ,$ biết rằng $\left| {\overrightarrow b } \right| = 10.$

e) Cho vectơ $\overrightarrow a  = (2; - 1;0).$ Tìm vectơ $\overrightarrow b$ cùng phương với $\overrightarrow a ,$ biết rằng $\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 10.$

$\eqalign{  & a)\;\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b  \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0 \Leftrightarrow 2 + m - 3=0\cr& \Leftrightarrow m = 1.  \cr  & b)\;\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b  \Leftrightarrow 3 + {\log _3}5.{\log _5}3 + 4m = 0 \cr&\Leftrightarrow 4 + 4m = 0 \Rightarrow m =  - 1. \cr}$

$c)\;t =  - {\pi  \over {24}} + {{k\pi } \over 4}$ hoặc $t = {{2\pi } \over 3} + l\pi ,k,l \in Z.$

$d)\;\overrightarrow b  = (4\sqrt 2 ; - 2;8)$ hoặc $\overrightarrow b  = ( - 4\sqrt 2 ;2; - 8).$

e) Vì $\overrightarrow b$ cùng phương với $\overrightarrow a ,$ nên $\overrightarrow b  = (2k; - k;0).$

Ta có $\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 10 \Rightarrow 4k + k = 10 \Rightarrow k = 2.$

Vậy vec tơ phải tìm là $\overrightarrow b  = (4; - 2;0).$