Cho tứ diện ABCD có A(2;1;-1), B(3;0;1), C(2;-1;3) và D thuộc trục Oy. Biết \({V_{ABCD}} = 5.\) Tìm tọa độ đỉnh D.
Giả sử D (0;y;0) thuộc trục Oy . Ta có :
\(\eqalign{ & \overrightarrow {AB} = (1; – 1;2),\cr&\overrightarrow {AD} = ( – 2;y – 1;1),\cr&\overrightarrow {AC} = (0; – 2;4) \cr & \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = (0; – 4; – 2) \cr & \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = – 4(y – 1) – 2 = – 4y + 2. \cr} \)
Theo giả thiết \({V_{ABCD}} = 5 \Leftrightarrow {1 \over 6}\left| { – 4y + 2} \right| = 5\)
\( \Leftrightarrow \left| { – 4y + 2} \right| = 30 \Rightarrow y = – 7\text{ hoặc } y = 8.\)
Vậy có hai điểm D trên trục Oy : (0;-7;0) và (0;8;0) thỏa mãn yêu cầu bài toán.