Trang chủ Lớp 12 SBT Toán 12 Nâng cao (sách cũ) Bài 28 trang 120 SBT Hình 12 Nâng Cao: Cho tứ diện...

Bài 28 trang 120 SBT Hình 12 Nâng Cao: Cho tứ diện SABC...

Cho tứ diện SABC . Bài 28 trang 120 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao - Bài 1. Hệ tọa độ trong không gian

Cho tứ diện SABC có \(SC = CA = AB = a\sqrt 2 ,SC \bot \left( {ABC} \right)\), tam giác ABC vuông tại A. Các điểm \(M \in SA,N \in BC\) sao cho \(AM = CN = t(0 < t < 2a)\)

a) Tính độ dài đoạn MN. Tìm giá trị t để MN ngắn nhất.

b) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh MN là đường vuông góc chung của BCSA.

a) Ta chọn hệ trục Oxyz sao cho gốc tọa độ O trùng A, tia Ox chứa AC, tia Oy chứa AB và tia Oz cùng hướng tới tia CS (h.98). Khi đó, ta có:

\(A(0;0;0),B(0;a\sqrt 2 ;0),C(a\sqrt 2 ;0;0),\)

\(S(a\sqrt 2 ;0;a\sqrt 2 ),\)

Advertisements (Quảng cáo)

\(\eqalign{  & M\left( {{{t\sqrt 2 } \over 2};0;{{t\sqrt 2 } \over 2}} \right);N\left( {a\sqrt 2  - {{t\sqrt 2 } \over 2};{{t\sqrt 2 } \over 2};0} \right)  \cr  &  \Rightarrow \overrightarrow {MN}  = \left( {\sqrt 2 (a - t);{{t\sqrt 2 } \over 2}; - {{t\sqrt 2 } \over 2}} \right)  \cr  &  \Rightarrow  {MN}  = \sqrt {2({a^2} - 2at + {t^2}) + {{{t^2}} \over 2} + {{{t^2}} \over 2}}  \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \sqrt {3{t^2} - 4at + 2{a^2}}   \cr  &  \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \sqrt {3{{\left( {t - {{2a} \over 3}} \right)}^2} + {{2{a^2}} \over 3}}  \ge {{a\sqrt 6 } \over 3}. \cr} \)

Dấu "=” xảy ra khi \(t = {{2a} \over 3}\) thỏa mãn điều kiện 0 < t < 2a.

Vậy MN ngắn nhất bằng \({{a\sqrt 6 } \over 3}\) khi \(t = {{2a} \over 3}.\)

b) Khi MN ngắn nhất thì :

\(\overrightarrow {MN}  = \left( {{{a\sqrt 2 } \over 3};{{a\sqrt 2 } \over 3}; - {{a\sqrt 2 } \over 3}} \right) \Rightarrow \left\{ \matrix{  \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {SA}  = 0 \hfill \cr  \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {BC}  = 0 \hfill \cr}  \right.\)

\( \Rightarrow MN\) là đường vuông góc chung của SA BC.

Bạn đang xem bài tập, chương trình học môn SBT Toán 12 Nâng cao (sách cũ). Vui lòng chọn môn học sách mới cần xem dưới đây: