Bài 31 trang 121 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao: Viết phương trình mặt cầu đi qua...

a) Viết phương trình mặt cầu đi qua A(1;2;-4), B(1;-3;1), C(2;2;3) và có tâm nằm trên mp(Oxy).

b) Viết phương trình mặt cầu đi qua hai điểm A(3;-1;2), B(1;1;-2) và có tâm thuộc trục Oz.

c) Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A(1;1;1), B(1;2;1), C(1;1;2), D(2;2;1).

a) Gọi I là tâm mặt cầu. Vì $I \in mp(Oxy)$ nên I=(x;y;0). Theo giả thiết, ta có $A{I^2} = B{I^2} = C{I^2}$, suy ra

 $\Rightarrow \left\{ \matrix{  x =  - 2 \hfill \cr  y = 1 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow I( - 2;1;0).$

Bán kính của mặt cầu là:

$R = AI = \sqrt {{{\left( { - 2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {4^2}}  = \sqrt {26}$

Vậy  phương trình mặt cầu là:

${(x + 2)^2} + {(y - 1)^2} + {z^2} = 26.$

b) Gọi I là tâm mặt cầu, $I \in Oz$ nên I = (0;0;z).

Theo giả thiết $A{I^2} = B{I^2}$, ta có phương trình

${( - 3)^2} + {1^2} + {(z - 2)^2} = {( - 1)^2} + {( - 1)^2} + {(z + 2)^2}$

$\Rightarrow 8z = 8 \Rightarrow z = 1$

Vậy $I=(0;0;1)$ và $AI = \sqrt {11} .$

Phương trình mặt cầu cần tìm là

${x^2} + {y^2} + {(z - 1)^2} = 11$

c) Phương trình mặt cầu (S) cần tìm có dạng

Ta có : $\eqalign{  & {(x)^2} + {(y)^2} + {(z)^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0  \cr  & A \in (S) \Leftrightarrow 2a + 2b + 2c - d = 3.  \cr  & B \in (S) \Leftrightarrow 2a + 4b + 2c - d = 6.  \cr  & C \in (S) \Leftrightarrow 2a + 2b + 4c - d = 6.  \cr  & D \in (S) \Leftrightarrow 4a + 4b + 2c - d = 9. \cr}$

Từ đó ta suy ra $a = {3 \over 2};b = {3 \over 2};c = {3 \over 2};d = 6.$

Vậy phương trình mặt cầu là :

${x^2} + {y^2} + {z^2} - 3x - 3y - 3z + 6 = 0.$