Trang chủ Lớp 12 SBT Toán 12 Nâng cao Bài 40 trang 10 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng...

Bài 40 trang 10 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao: Tính thể tích khối tứ diện ABCD...

Tính thể tích khối tứ diện ABCD . Bài 40 trang 10 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao – Bài 4. Thể tích của khối đa diện

Tính thể tích khối tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau :

\(AB=CD=a, AC=BD=b,AD=BC=c\).

(h.25)

Dựng tứ diện APQR sao cho B, C, D lần lượt là trung điểm của các cạnh QR, RP, PQ.

Ta có \(AD = BC = {1 \over 2}PQ\) mà D là trung điểm của PQ nên \(AQ \bot {\rm{AP}}{\rm{.}}\)

Chứng minh tương tự, ta cũng có \(AQ \bot {\rm{AR}},{\rm{AR}} \bot AP.\)

Quảng cáo

Dễ thấy :

\({V_{ABCD}} = {1 \over 4}{V_{APQR}} = {1 \over 4}.{1 \over 6}.AP.AQ.{\rm{AR}}( * )\)

Xét các tam giác vuông \(APQ,AQR,ARP,\) ta có

\(A{P^2} + A{Q^2} = 4{c^2},\)

\(A{Q^2} + {\rm{A}}{{\rm{R}}^2} = 4{a^2},\)

\({\rm{A}}{{\rm{R}}^2} + A{P^2} = 4{b^2}.\)

Từ đó suy ra :

\(\eqalign{  & AP = \sqrt 2 .\sqrt { – {a^2} + {b^2} + {c^2}} ,\cr&AQ = \sqrt 2 \sqrt {{a^2} – {b^2} + {c^2}} ,  \cr  & {\rm{A}}{{\rm{R}}} = \sqrt 2 \sqrt {{a^2} + {b^2} – {c^2}} . \cr} \)

Vậy từ \(\left(  *  \right)\) ta suy ra :

Quảng cáo