Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau:
a) Đi qua điểm M0(2;1;-1) và qua giao tuyến của hai mặt phẳng
x-y+z-4=0 và 3x-y+z-1=0.
b) Qua giao tuyến của hai mặt phẳng y+2z-4=0 và x+y-z+3=0, đồng thời song song với mặt phẳng x+y+z-2=0.
c) Qua giao tuyến của hai mặt phẳng 3x-y+z-2=0 và x+4y-5=0, đồng thời vuông góc với mặt phẳng 2x-z+7=0.
a) Gọi M(x;y;z) là điểm thuộc giao tuyến \(\Delta \) của hai mặt phẳng, khi đó tọa độ của điểm M là nghiệm của hệ:
\(\left\{ \matrix{ x - y + z = 4 \hfill \cr 3x - y + z = 1. \hfill \cr} \right.\)
Đây là hệ ba ẩn có hai phương trình. Ta tìm hai nghiệm nào đó của hệ.
Cho z=0, ta có \(\left\{ \matrix{ x - y = 4 \hfill \cr 3x - y = 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ x = - {3 \over 2} \hfill \cr y = - {{11} \over 2}. \hfill \cr} \right.\)
Vậy \({M_1}( - {3 \over 2}; - {{11} \over 2};0) \in \Delta .\)
Cho y=0, ta có \(\left\{ \matrix{ x + z = 4 \hfill \cr 3x + z = 1 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ x = - {3 \over 2} \hfill \cr y = {{11} \over 2}. \hfill \cr} \right.\)
Vậy \({M_2}\left( { - {3 \over 2};0;{{11} \over 2}} \right) \in \Delta .\)
Mặt phẳng phải tìm chính là mặt phẳng đi qua \({M_0},{M_1},{M_2}.\)
Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm trên, ta được:
\(15x-7y+7z-16=0.\)
b) Cách 1 : Ta thấy hệ phương trình
\(\left\{ \matrix{ y + 2z - 4 = 0 \hfill \cr x + y - z + 3 = 0 \hfill \cr x + y + z - 2 = 0 \hfill \cr} \right.\)
Advertisements (Quảng cáo)
Có một nghiệm duy nhất là\(\left( {{1 \over 2}; - 1;{5 \over 2}} \right).\)
Điều này có nghĩa là giao tuyến của hai mặt phẳng
\(y+2z-4=0\) và \(x+y-z+3=0\)
Cắt mặt phẳng \(x+y+z-2=0.\)
Vậy không tồn tại mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Cách 2 : Ta tìm hai điểm thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng.
Cho z = 0, ta được \({M_1}( - 7;4;0),\) Cho y = 0, ta được \({M_2}( - 1;0;2).\)
Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng song song với mặt phẳng \(x+y+z-2=0\) thì \(\left( \alpha \right)\) có dạng :
\(x + y + z + D = 0,D \ne - 2.\)
Ta xác định D để \({M_1},{M_2} \in \left( \alpha \right).\) D là nghiệm của hệ :
\(\left\{ \matrix{ - 7 + 4 + D = 0 \hfill \cr - 1 + 2 + D = 0. \hfill \cr} \right.\)
Hệ vô nghiệm. Vậy không tồn tại mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.
c) Ta tìm hai điểm \({M_1},{M_2}\) thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng.
Gọi \(\overrightarrow {n’} = (2;0; - 1)\) là vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(2x-z+7=0\).
Khi đó mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng đi qua M1 và có vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,\overrightarrow {n’} } \right].\)
Sau các tính toán, ta có kết quả : Mặt phẳng cần tìm có phương trình :
\(x-22y+2z+21=0.\)