Trang chủ Lớp 12 SBT Toán 12 Nâng cao Bài 48 trang 11 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng...

Bài 48 trang 11 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao: Bốn đường thẳng...

Bốn đường thẳng . Bài 48 trang 11 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao – Bài 4. Thể tích của khối đa diện

Bốn đường thẳng \({\Delta _1},{\Delta _2},{\Delta _3},{\Delta _4}\) đôi một song song và không có ba đường thẳng nào trên cùng một mặt phẳng. Một mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt chúng theo thứ tự tại A, B, C, D. Một mặt phẳng \(\left( {P’} \right)\) cắt chúng theo thứ tự A’, B’, C’, D’. Chứng minh hai khối tứ diện D’ABCDA’B’C’ có thể tích bằng nhau.

(h.33)

Gọi \(O = AC \cap BD,O’ = A’C’ \cap B’D’.\)

Do \(DD’//OO’\) nên dễ thấy

\({{d\left( {D’,\left( {ABC} \right)} \right)} \over {d\left( {O’,\left( {ABC} \right)} \right)}} = {{DD’} \over {OO’}},{{d\left( {D,\left( {A’B’C’} \right)} \right)} \over {d\left( {O,\left( {A’B’C’} \right)} \right)}} = {{DD’} \over {OO’}}.\)

Quảng cáo

Vậy :

\(\left. \matrix{  {V_{D’.ABC}} = {{DD’} \over {OO’}}{V_{O’.ABC}} \hfill \cr  {V_{D.A’B’C’}} = {{DD’} \over {OO’}}{V_{O.A’B’C’}} \hfill \cr}  \right\}\;\;\;\;\;(1)\)

Đặt \(h = d\left( {BB’,\left( {ACC’A’} \right)} \right).\)

Ta có \(h = d\left( {B,\left( {ACC’A’} \right)} \right)\) và

\(\eqalign{  & {V_{O’.ABC}} = {V_{B.O’AC}} = {1 \over 3}h.{S_{O’AC}}\;\;\;\;\;(2)  \cr  & {V_{O.A’B’C’}} = {V_{B’.OA’C’}} = {1 \over 3}h.{S_{OA’C’}}\;\;\;(3) \cr} \)

Đặt \(d = d\left( {AA’,CC’} \right)\) thì \(\eqalign{  & {S_{O’AC}} = {S_{OA’C’}} = {1 \over 2}OO’.d\;\;\;\;(4)  \cr  &  {S_{O’AC}} = {S_{AOO’}} + {S_{COO’}} \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= {1 \over 2}OO’\left( {d\left( {A,OO’} \right) + d\left( {C.OO’} \right)} \right) \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= {1 \over 2}OO’.d  \cr} \)

Tương tự \({S_{OA’C’}} = {1 \over 2}OO’.d\).

Từ (2), (3), (4) suy ra \({V_{O’.ABC}} = {V_{O.A’B’C’}}\;\;\;\;(5)\)

Từ (1) và (5) ta suy ra \({V_{D’.ABC}} = {V_{D.A’B’C’}}.\)

Quảng cáo