Câu 2.80 trang 83 SBT Giải Tích lớp 12 nâng cao: Chứng minh rằng đồ thị của hai hàm số...

Chứng minh rằng đồ thị của hai hàm số $y = {a^x}$ và $y =  - {\log _a}\left( { - x} \right)$ đối xứng với nhau qua đường thẳng $y = -x$.

Giải

Gọi $\left( {{G_1}} \right)$ và $\left( {{G_2}} \right)$ lần lượt là đồ thị của các hàm số $y = {a^x}$ và $y =  - {\log _a}\left( { - x} \right)$.

$M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là một điểm bất kì. Khi đó điểm đối xứng với M qua đường thẳng $y =  - x$ là $M’\left( { - {y_0};{x_0}} \right)$. Ta có

$M \in \left( {{G_1}} \right) \Leftrightarrow {y_0} = {a^{{x_0}}} \Leftrightarrow {x_0} = {\log _a}{y_0}$

$\Leftrightarrow  - {x_0} =  - \log \left[ { - \left( { - {y_0}} \right)} \right] \Leftrightarrow M’ \in \left( {{G_2}} \right)$

Điều đó chứng tỏ $\left( {{G_1}} \right)$ và $\left( {{G_2}} \right)$ đối xứng với nhau qua đường thẳng $y =  - x$.