Bài 23 trang 119 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao: Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có...

Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có

A  (1;2;-1), B (2;-1;3), C (-4;7;5).

a) Tính độ dài đường cao ${h_A}$ của tam giác kẻ từ A.

b) Tính độ dài đường phân giác trong tam giác kẻ từ đỉnh B.

a) Ta có $\overrightarrow {AB}  = (1; - 3;4),\overrightarrow {AC}  = ( - 5;5;6),\overrightarrow {BC}  = ( - 6;8;2)$

$\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = ( - 38; - 26; - 10).$

Vậy ${S_{ABC}} = {1 \over 2}\sqrt {{{38}^2} + {{26}^2} + {{10}^2}}  = \sqrt {555}$

${h_A} = {{2{S_{ABC}}} \over {BC}} = {{2\sqrt {555} } \over {\sqrt {104} }} = {{\sqrt {555} } \over {\sqrt {26} }}.$

b) Gọi D là chân đường phân giác kẻ từ B, giả sử D=(x;y;z).

Ta có ${{DA} \over {DC}} = {{BA} \over {BC}} = {{\sqrt {26} } \over {\sqrt {104} }} = {1 \over 2}.$

Vì D nằm giữa A,C (phân giác trong ) nên $\overrightarrow {DA}  =  - {1 \over 2}\overrightarrow {DC}$ hay

$\overrightarrow {CD}  = 2\overrightarrow {DA}  \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  2(1 - x) = x + 4 \hfill \cr  2(2 - y) = y - 7 \hfill \cr  2( - 1 - z) = z - 5 \hfill \cr}  \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{  x =  - {2 \over 3} \hfill \cr  y = {{11} \over 3} \hfill \cr  z = 1 \hfill \cr}  \right.$

Vậy $D = \left( { - {2 \over 3};{{11} \over 3};1} \right) \Rightarrow BD = {{2\sqrt {74} } \over 3}.$