Câu 2.85 trang 84 Sách BT Giải Tích 12 nâng cao: Chứng minh rằng hàm số...

a) Chứng minh rằng hàm số $y = {{{2^x} - {2^{ - x}}} \over 3}$ đồng biến trên R                                               

b) Chứng minh rằng hàm số $y = {\log _{{1 \over 2}}}x - {\log _{{1 \over 2}}}\left( {x + 1} \right)$ nghịch biến trên tập các số thực dương.      

Giải

a) Với ${x_1},{x_2}$ bất kì thuộc R ta có

${y_1} - {y_2} = {{{2^{{x_1}}} - {2^{ - {x_1}}}} \over 3} - {{{2^{{x_2}}} - {2^{ - {x_2}}}} \over 3} = {{{2^{{x_1}}} - {2^{{x_2}}}} \over 3} + {{{2^{ - {x_2}}} - {2^{ - {x_1}}}} \over 3}$

Vì hàm số $y = {2^x}$ đồng biến trên R ,nên ${{{2^{{x_1}}} - {2^{{x_2}}}} \over 3} < 0;{{{2^{ - {x_2}}} - {2^{ - {x_1}}}} \over 3} < 0$

Do đó ${y_1} - {y_2} < 0$ , tức là ${y_1} < {y_2}$.

Vậy hàm số $y = {{{2^x} - {2^{ - x}}} \over 3}$ đồng biến trên R.

b) Cách làm tương tự câu a) với lưu ý hàm số $y = {\log _{{1 \over 2}}}x$ nghịch biến trên tập các số thực dương.