Trang chủ Lớp 12 SBT Toán 12 Nâng cao Câu 2.85 trang 84 Sách BT Giải Tích 12 nâng cao: Chứng...

Câu 2.85 trang 84 Sách BT Giải Tích 12 nâng cao: Chứng minh rằng hàm số...

Chứng minh rằng hàm số . Câu 2.85 trang 84 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao – Bài 5 6. Hàm số mũ hàm số lôgarit và hàm số lũy thừa

a) Chứng minh rằng hàm số \(y = {{{2^x} – {2^{ – x}}} \over 3}\) đồng biến trên R                                               

b) Chứng minh rằng hàm số \(y = {\log _{{1 \over 2}}}x – {\log _{{1 \over 2}}}\left( {x + 1} \right)\) nghịch biến trên tập các số thực dương.      

Giải

Quảng cáo

a) Với \({x_1},{x_2}\) bất kì thuộc R ta có

\({y_1} – {y_2} = {{{2^{{x_1}}} – {2^{ – {x_1}}}} \over 3} – {{{2^{{x_2}}} – {2^{ – {x_2}}}} \over 3} = {{{2^{{x_1}}} – {2^{{x_2}}}} \over 3} + {{{2^{ – {x_2}}} – {2^{ – {x_1}}}} \over 3}\)

Vì hàm số \(y = {2^x}\) đồng biến trên R ,nên \({{{2^{{x_1}}} – {2^{{x_2}}}} \over 3} < 0;{{{2^{ – {x_2}}} – {2^{ – {x_1}}}} \over 3} < 0\)

Do đó \({y_1} – {y_2} < 0\) , tức là \({y_1} < {y_2}\).

Vậy hàm số \(y = {{{2^x} – {2^{ – x}}} \over 3}\) đồng biến trên R.

b) Cách làm tương tự câu a) với lưu ý hàm số \(y = {\log _{{1 \over 2}}}x\) nghịch biến trên tập các số thực dương.

Quảng cáo