a) Chứng minh rằng hàm số \(y = {{{2^x} - {2^{ - x}}} \over 3}\) đồng biến trên R
b) Chứng minh rằng hàm số \(y = {\log _{{1 \over 2}}}x - {\log _{{1 \over 2}}}\left( {x + 1} \right)\) nghịch biến trên tập các số thực dương.
Giải
a) Với \({x_1},{x_2}\) bất kì thuộc R ta có
\({y_1} - {y_2} = {{{2^{{x_1}}} - {2^{ - {x_1}}}} \over 3} - {{{2^{{x_2}}} - {2^{ - {x_2}}}} \over 3} = {{{2^{{x_1}}} - {2^{{x_2}}}} \over 3} + {{{2^{ - {x_2}}} - {2^{ - {x_1}}}} \over 3}\)
Advertisements (Quảng cáo)
Vì hàm số \(y = {2^x}\) đồng biến trên R ,nên \({{{2^{{x_1}}} - {2^{{x_2}}}} \over 3} < 0;{{{2^{ - {x_2}}} - {2^{ - {x_1}}}} \over 3} < 0\)
Do đó \({y_1} - {y_2} < 0\) , tức là \({y_1} < {y_2}\).
Vậy hàm số \(y = {{{2^x} - {2^{ - x}}} \over 3}\) đồng biến trên R.
b) Cách làm tương tự câu a) với lưu ý hàm số \(y = {\log _{{1 \over 2}}}x\) nghịch biến trên tập các số thực dương.