Câu 3.42 trang 147 SBT Giải Tích lớp 12 nâng cao:Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số...

a) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \sin x$, trục hoành, trục tung và đường  thẳng $x = 2\pi$                                                  

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = 2 - x,y = {x^2}$ và trục hoành trong miền $x \ge 0$

Giải

a) Ta có  $\sin x \ge 0$ trên đoạn $\left[ {0 ;\pi } \right]$ và $\sin x \le 0$ trên đoạn $\left[ {\pi ;2\pi } \right]$.

Vậy diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình 3.2) là:

$S = \int\limits_0^{2\pi } {\left| {\sin x} \right|dx = \int\limits_0^\pi  {\sin xdx - } } \int\limits_\pi ^{2\pi } {\sin xdx}$

    $= 2 - \left( { - 2} \right) = 4$

b) Tìm hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số $y = 2 - x$ và $y = {x^2}$ bằng cách giải phương trình $2 - x = {x^2}$. Ta tìm được $x = 1$  và $x =  - 2$ (loại). Hình tạo thành (phần tô đậm trong hình 3.2) gồm một tam giác cong và một tam giác. Diện tích tam giác cong là:$\int\limits_0^1 {{x^2}dx}  = {1 \over 3}$. Diện tích tam giác là ${1 \over 2}$.

Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là: ${1 \over 3} + {1 \over 2} = {5 \over 6}$