Câu 4.49 trang 184 Sách BT Giải Tích 12 nâng cao: Xét hệ phương trình...

Giải hệ phương trình hai phức z, w sau: $\left\{ \matrix{ {z^3} + {{\rm{w}}^5} = 0 \hfill \cr {z^2}{\left( {{\rm{\bar w}}} \right)^4} = 1 \hfill \cr}  \right.$Giải

Xét hệ phương trình $\left\{ \matrix{{z^3} + {{\rm{w}}^5} = 0(1) \hfill \cr{z^2}{\left( {{\rm{\bar w}}} \right)^4} = 1(2) \hfill \cr}  \right.$  

Từ (2) suy ra ${z^6}{(\overline {\rm{w}} )^{12}} = 1$

Từ (1) suy ra ${z^6} = {{\rm{w}}^{10}}$

Vậy ${{\rm{w}}^{10}}{(\overline {\rm{w}} )^{12}} = 1$. Từ đó  ${\left| {\rm{w}} \right|^{22}} = 1$ tức là $\left| {\rm{w}} \right| = 1$; suy ra $\left| {{z^6}} \right| = {\left| {\rm{w}} \right|^{10}}=1$ tức là $\left| z \right| = 1$

Từ ${\rm{w}} = {1 \over {\rm{\overline w}}}$ và ${{\rm{w}}^{10}}{\left( {{\rm{\overline  w}}} \right)^{12}} = 1$ suy ra ${\left( {{\rm{\bar w}}} \right)^2} = 1$ nên w bằng 1 hoặc bằng -1.

Từ ${\left( {{\rm{\overline  w}}} \right)^2} = 1$ và (2) suy ra ${z^2} = 1$ tức z bằng 1 hoặc bằng -1.

Từ (1) suy ra hệ có hai nghiệm là (1;-1) và (-1;1).