Advertisements (Quảng cáo)
Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến:
a) \(\int\limits_1^2 {x{{(1 – x)}^5}dx} \) (đặt t = 1 – x)
b) \(\int\limits_0^{\ln 2} {\sqrt {{e^x} – 1} dx} \) (đặt \(t = \sqrt {{e^x} – 1} \))
c) \(\int\limits_1^9 {x\root 3 \of {1 – x} dx} \) (đặt \(t = \root 3 \of {1 – x} \))
d) \(\int\limits_{ – 1}^1 {{{2x + 1} \over {\sqrt {{x^2} + x + 1} }}} dx\) (đặt \(u = \sqrt {{x^2} + x + 1} \) )
e) \(\int\limits_1^2 {{{\sqrt {1 + {x^2}} } \over {{x^4}}}} dx\) (đặt \(t = {1 \over x}\))
g) \(\int\limits_0^\pi {{{x\sin x} \over {1 + {{\cos }^2}x}}dx} \) (đặt \(x = \pi – t\) )
h) \(\int\limits_{ – 1}^1 {{x^2}{{(1 – {x^3})}^4}dx} \)
i) \(\int\limits_0^1 {{{dx} \over {1 + {x^2}}}} \) (đặt \(x = \tan u\) )
Hướng dẫn làm bài
a) \( – {{13} \over {42}}\)
b) \(2 – {\pi \over 2}\)
c) \( – {{468} \over 7}\)
d) \(2(\sqrt 3 – 1)\)
e) \( – {1 \over 3}({{5\sqrt 5 } \over 8} – 2\sqrt 2 )\)
g) \({{{\pi ^2}} \over 4}\) .
HD: Đặt \(x = \pi – t\) , ta suy ra:
\(\int\limits_0^\pi {{{x\sin x} \over {1 + {{\cos }^2}x}}dx} = {\pi \over 2}\int\limits_0^\pi {{{\sin x} \over {1 + {{\cos }^2}x}}} dx = {\pi \over 2}\int\limits_0^\pi {{{ – d(\cos x)} \over {1 + {{\cos }^2}x}}} \)
Vậy \(\int\limits_0^\pi {{{x\sin x} \over {1 + {{\cos }^2}x}}dx} = {\pi \over 2}\int\limits_{ – 1}^1 {{{dt} \over {1 + {t^2}}}} \) .
Đặt tiếp t = tan u
h) \({{{2^5}} \over {15}}\) .
HD: Đặt t = 1 – x3
i) \({\pi \over 4}\)