Bài 14 trang 92 SBT Toán 8 - Cánh diều: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Lấy điểm $M, N$ lần lượt trên cạnh $AB, AC$ sao cho $AM = AN$...

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Lấy điểm $M,N$ lần lượt trên cạnh $AB,AC$ sao cho $AM = AN$.

a) Chứng minh tứ giác $BMNC$ là hình thang cân

b) Xác định vị trí các điểm $M,N$ để $BM = MN = NC$.

Dựa vào định nghĩa của hình thang cân:

- Hình thang là tứ giác có hai cạnh đối song song

- Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.

a) Vì hai tam giác $AMN$ và $ABC$ đều cân tại $A$ nên

$\widehat {AMN} = \widehat {ABC}$ (cùng bằng $\frac{{180^\circ - \widehat A}}{2}$)

Mà $\widehat {AMN}$ và $\widehat {ABC}$ nằm ở vị trí đồng vị, suy ra $MN//BC$.

Tứ giác $BMNC$ có $MN//BC$ và $\widehat {MBC} = \widehat {NCB}$ nên $BMNC$ là hình thang cân.

b) Do $BM = MN$ nên tam giác $MBN$ cân tại $M$. Suy ra $\widehat {MNB} = \widehat {MBN}$. Mà $\widehat {MNB} = \widehat {NBC}$ (hai góc so le trong), suy ra $\widehat {MBN} = \widehat {NBC}$. Do đó, $BN$ là tia phân giác của góc $ABC$.

Chứng minh tương tự ta được $CM$ là tia phân giác của góc $ACB$.

Dễ thấy, nếu các điểm $M,N$ được xác định sao cho $BM,CN$ lần lượt là tia phân giác của góc $ABC,ACB$ thì $BN = MN = CN$.

Vậy $M$ là giao điểm của $AB$ và tia phân giác của góc $ACB,N$ là giao điểm của $AC$ và tia phân giác của góc $ABC$ thì $BN = MN = CN$.