Bài 15 trang 92 SBT Toán 8 - Cánh diều: Tứ giác $BCDE$ là hình gì? Vì sao?...

Cho tam giác đều $ABC$ có độ dài cạnh là 6 cm. trên tia $BA,CA$ lần lượt lấy điểm $D,E$ sao cho $AD = AE = 2cm$ (Hình 12)

a) Tứ giác $BCDE$ là hình gì? Vì sao?

b) Tính độ dài đoạn thẳng $CD$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của centimet).

Dựa vào dấu hiệu nhận biết hình thang cân: hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

a) Tam giác đều $ABC$ có $AB = BC = AC = 6cm$; $\widehat {BAC} = \widehat {CBA} = \widehat {ACB} = 60^\circ$

Ta có: $\widehat {DAE} = \widehat {BAC}$ (hai góc đối đỉnh) nên $\widehat {DAE} = 60^\circ$

Tam giác $ADE$ có $AD = AE$ và $\widehat {DAE} = 60^\circ$ nên $ADE$ là tam giác đều. Suy ra $\widehat {ADE} = 60^\circ$. Do đó $\widehat {CBA} = \widehat {ADE}$ (vì cùng bằng $60^\circ$). Mà $\widehat {CBA}$ và $\widehat {ADE}$ nằm ở vị trí so le trong, suy ra $BC//DE$.

Ta có: $AB = AC$ và $AD = AE$ nên $BD = CE$.

Tứ giác $BCDE$ có $BC//DE$ và $BD = CE$ nên $BCDE$ là hình thang cân.

b) Kẻ $DH$ vuông góc với $CE$ tại $H$.

$\Delta ADH = \Delta EDH$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra $AH = EH = \frac{{AE}}{2} = 1cm$

Trong tam giác $ADH$ vuông tại $H$, ta có: $C{D^2} = C{H^2} + D{H^2}$. Suy ra $C{D^2} = 52$

Vậy $CD = \sqrt {52} \approx 7,2\left( {cm} \right)$.