Bài tập 5 trang 140 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 1, Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có AH là đường cao...

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có AH là đường cao. Vẽ $HE \bot AB,HF \bot AC(E \in AB,F \in AC)$

a) Chứng minh rằng AM = EF.

b) Gọi M là điểm đối xứng của H qua E. Chứng minh rằng tứ giác MAFE lả hình binh hành.

c) Gọi D là trung điẻm cùa HC, I là giao điểm của AH và EF. Chứng minh rằng BI vuông góc với AD.

d) Gọi N lả điểm đổi xứng của H qua F. Chứng minh rằng ba điểm M, A, N thẳng hàng.

a) Tứ giác AEHF có:

$\widehat {EAF} = {90^0}\,\,(\Delta ABC$ vuông tại A);

$\widehat {AEH} = {90^0}\,\,(EH \bot AB$ tại E)

$\widehat {AFH} = {90^0}\,\,(HF \bot AC$ tại F)

Do đó tứ giác AEHF là hình chữ nhật $\Rightarrow AH \bot EF$.

b) Ta có $AF = EH$ (AEHF là hình chữ nhật)

Và $ME = EH$ (E là trung điểm của MH) $\Rightarrow AF = ME$.

Mà AF // ME (AF // EH, $M \in EH$) nên AMEF là hình bình hành.

c) Hình chữ nhật AEHF có I là giao điểm của AH và EF (gt)

$\Rightarrow$ I là trung điểm của AH.

Mà D là trung điểm của HC

$\Rightarrow ID$ là đường trung bình của tam giác AHC $\Rightarrow ID//AC$.

Mặt khác $AC \bot AB\,\,(\Delta ABC$ vuông tại A).

Do đó $ID \bot AB$.

Xét tam giác ABD có DI là đường cao $\left( {DI \bot AB} \right)$, AH là đường cao $\left( {AH \bot BD} \right)$

Và DI và AH cắt nhau tại I (gt).

Do đó I là trực tâm của tam giác ABD

$\Rightarrow BI$ là đường cao của tam giác ABD $\Rightarrow BI \bot AD$.

d) Xét tam giác MHN có:

E là trung điểm của MH (M đối xứng với H qua E)

F là trung điểm của HN (N đối xứng với H qua F)

$\Rightarrow EF$ là đường trung bình của tam giác MHN $\Rightarrow EF//MN$.

Mà $EF//MA$ (MAFE là hình bình hành)

Do đó MN, MA trùng nhau (tiên đề Ơ-clit).

Vậy M, A, N thẳng hàng.