Luyện tập 6 trang 138 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 1, Cho hình bình hành ABCD, tâm O. Trên đường chéo AC lấy hai điểm M, N sao cho AM = MN = CN....

Cho hình bình hành ABCD, tâm O. Trên đường chéo AC lấy hai điểm M, N sao cho AM = MN = CN.

a) Chứng minh rằng hai điểm M và N đối xứng nhau qua tâm O.

b) Chứng minh rằng O là tâm đối xứng của tứ giác DMBN.

c) DM cắt AB tại E, BN cắt CD tại F. Chứng minh rằng hai điểm E và F đối xứng nhau qua O.

a) O là tâm của hình bình hành ABCD (gt)

$\Rightarrow O$ là trung điểm của AC và BD $\Rightarrow OA = OC$.

Mà $AM = CN\,\,\left( {gt} \right)$ nên $OA - AM = OC - CN$

$\Rightarrow OM = ON \Rightarrow O$ là trung điểm của MN

$\Rightarrow M,N$ đối xứng nhau qua tâm O.

b) Tứ giác DMBN có DB và MN cắt nhau tại O (gt),

O là trung điểm của DB (câu a)

Và O là trung điểm của MN (câu a)

Do đó tứ giác DMBN là hình bình hành

$\Rightarrow O$ là tâm đối xứng của tứ giác DMBN.

c) Tứ giác DEBF có :

EB // CD (AB // CD, $E \in AB,\,\,F \in CD$)

Và DE // EB (DM // BN, $E \in BM,\,\,F \in BN$)

$\Rightarrow$ Tứ giác DEBF là hình bình hành

$\Rightarrow DB$ và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà O là trung điểm của BD (câu a)

Nên O là trung điểm của EF $\Rightarrow E,F$ đối xứng nhau qua O.