Luyện tập 3 trang 106 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 1, Cho tứ giác ABCD, gọi O là giao điểm của AC và BD. Biết rằng OA = OB, OC = OD. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình thang cân....

Cho tứ giác ABCD, gọi O là giao điểm của AC và BD. Biết rằng OA = OB, OC = OD. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình thang cân.

OA = OB (gt) và OC = OD (gt) $\Rightarrow OA + OC = OB + OD \Rightarrow AC = BD$

Ta có OA = OB => ∆OAB cân tại O $\Rightarrow \widehat {ABO} = {{180^\circ  - \widehat {AOB}} \over 2}$

Mà $\widehat {ODC} = {{180^\circ  - \widehat {DOC}} \over 2}$ (∆DOC cân tại O vì OD = OC)

Và $\widehat {AOB} = \widehat {DOC}$ (đối đỉnh) nên $\widehat {ABO} = \widehat {ODC}$

Lại có $\widehat {ABO}$ và $\widehat {ODC}$ là hai góc so le trong

Do đó AB // CD => Tứ giác ABCD là hình thang

Hình thang ABCD (AB // CD) có $AC = BD$ nên là hình thang cân.