Bài 26 trang 96 Dạy và học Toán 9 tập 2: Cho hai đường kính vuông góc AB và CD của đường tròn (O; R). Gọi I là một điểm trên cung...

Cho hai đường kính vuông góc AB và CD của đường tròn (O; R). Gọi I là một điểm trên cung nhỏ AC sao cho tiếp tuyến qua I cắt DC kéo dài tại M và IC = CM.

a) Tính $\widehat {AOI}$ .

b) Tính độ dài đoạn OM theo R.

a) Chứng minh tam giác OCI có $\widehat {CIO} = \widehat {COI}$, từ đó suy ra tam giác OCI đều.

Sử dụng tính chất cộng góc $\widehat {AOI} + \widehat {COI} = {90^0}$.

b) Chứng minh $CM = CO$.

a) Xét tam giác CMI có $CI = CM\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \Delta CIM$ cân tại C $\Rightarrow \widehat {CIM} = \widehat {CMI}$ (hai góc ở đáy).

Mà $\widehat {CIM} + \widehat {CIO} = \widehat {MIO} = {90^0}$.

$\widehat {CMI} + \widehat {COI} = {90^0}$ (hai góc nhọn trong tam giác vuông phụ nhau)

$\Rightarrow \widehat {CIO} = \widehat {COI} \Rightarrow \Delta CIO$ cân tại C $\Rightarrow CO = CI$. Mà $CO = OI = R \Rightarrow CO = OI = CI = R \Rightarrow \Delta CIO$ đều $\Rightarrow \widehat {COI} = {60^0}$.

Mà  $\widehat {AOI} + \widehat {COI} = \widehat {AOM} = {90^0}$

$\Rightarrow \widehat {AOI} = {90^0} - \widehat {COI} = {90^0} - {60^0} = {30^0}$.

b) Ta có $CM = CI = CO = R\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow OM = OC + CM = 2R$.