Bài 27 trang 105 SBT Hình học 10 Nâng cao: Bài 3. Khoảng cách và góc....

Cho ba điểm $A(2 ; 0), B(4 ; 1), C(1 ; 2).$

a) Chứng minh rằng $A, B, C$ là ba đỉnh của  một tam giác.

b) Viết phương trình đường phân giác trong của góc $A.$

c) Tìm tọa độ tâm $I$ của đường tròn nội tiếp tam giác $ABC.$

a) $\overrightarrow {AB}  = (2 ; 1),  \overrightarrow {AC}  = ( - 1 ; 2)$, $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AC}$ không cùng phương . Do đó $A, B, C$ không thẳng hàng và là ba đỉnh của một tam giác.

b) Phương trình đường thẳng $AB$: $x-2y-2=0.$

Phương trình đường thẳng $AC$: $2x+y-4=0.$

Phương trình các đường phân giác trong và ngoài của góc $A$ là

$\dfrac{{x - 2y - 2}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} =  \pm  \dfrac{{2x + y - 4}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }}$

$\Leftrightarrow   \left[ \begin{array}{l}x + 3y - 2 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\3x - y - 6 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.$

Thay lần lượt tọa độ của $B$ và $C$ vào vế trái của (1) ta được

$4 + 3.1 - 2 = 5 ;$ $1 + 3.2 - 2 = 5$.

Do đó $B, C$ cùng phía đối với đường thẳng có phương trình (1), vậy phương trình đường phân giác trong của góc $A$ là  $3x-y-6=0.$

c) $\overrightarrow {BC}  = ( - 3 ; 1)$. Phương trình đường thẳng $BC$ là $x+3y-7=0.$

Phương trình các đường phân giác trong và ngoài của góc $B$ là

$\dfrac{{x - 2y - 2}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} =  \pm  \dfrac{{x + 3y - 7}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} }}$

$\Leftrightarrow     \left[ \begin{array}{l}(\sqrt 2  - 1)x - (2\sqrt 2  + 3)y + 7 - 2\sqrt 2  = 0\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\\(\sqrt 2  + 1)x + (3 - 2\sqrt 2 )y - 7 - 2\sqrt 2  = 0 \,\,\,\,\,\,\,\,(4)\end{array} \right.$

Thay lần lượt tọa độ của $A$ và $C$ vào vế trái của (3) ta được:

$(\sqrt 2  - 1).2 + 7 - 2\sqrt 2  = 5 ;$ $(\sqrt 2  - 1).1 - (2\sqrt 2  + 3).2 + 7 - 2\sqrt 2  =  - 5\sqrt 2.$

Suy ra phương trình đường phân giác trong của góc $B$ là

$(\sqrt 2  - 1)x - (2\sqrt 2  + 3)y + 7 - 2\sqrt 2  = 0.$

Tâm $I$ của đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của các đường phân giác trong. Tọa độ của $I$ là nghiệm của hệ

$\left\{ \begin{array}{l}3x - y - 6 = 0\\(\sqrt 2  - 1)x - (2\sqrt 2  + 3)y + 7 - 2\sqrt 2  = 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow   \left\{ \begin{array}{l}x =  \dfrac{{5 + 2\sqrt 2 }}{{2 + \sqrt 2 }}\\y =  \dfrac{3}{{2 + \sqrt 2 }}\end{array} \right.$.

Vậy $I = \left( { \dfrac{{5 + 2\sqrt 2 }}{{2 + \sqrt 2 }} ;  \dfrac{3}{{2 + \sqrt 2 }}} \right)$.