Bài 31 trang 105 Sách bài tập Toán Nâng cao Hình 10: Bài 3. Khoảng cách và góc....

Biết các cạnh của tam giác $ABC$ có phương trình:

$AB: x-y+4=0 ;$

$BC: 3x+5y+4=0 ;$

$AC: 7x+y-12=0.$

a) Viết phương trình đường phân giác trong của góc $A$.

b) Không dùng hình vẽ, hãy cho biết gốc tọa độ $O$ nằm trong hay nằm ngoài tam giác $ABC.$

a) Ta tìm được tọa độ các đỉnh của tam giác $ABC$ là $A(1 ; 5),$ $B(-3 ; 1),$ $C(2 ; -2).$

Phương trình các đường phân giác trong và ngoài của góc $A$ là

$\dfrac{{x - y + 4}}{{\sqrt 2 }} =  \pm  \dfrac{{7x + y - 12}}{{\sqrt {49 + 1} }}$

$\Leftrightarrow     \left[ \begin{array}{l}x + 3y - 16 = 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\3x - y + 2 = 0 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.$

Thay lần lượt tọa độ của điểm $B$ và $C$ vào vế trái của (1) ta được

$- 3 + 3 - 16 =  - 16 ; 2 - 6 - 16 =  - 20$

Suy ra $B$ và $C$ cùng phía đối với đường thẳng có phương trình (1).

Vậy phương trình phân giác trong của góc $A$ là $3x-y+2=0.$

b) Thay lần lượt tọa độ của $O$ vào vế trái phương trình của $BC, AC, AB$ ta được: $4, -12, 4.$

Thay tọa độ của $A, B, C$ lần lượt vào vế trái của phương trình của $BC, AC, AB$ ta được: $32, -32, 8.$

Vậy $O$ và $A$ nằm cùng phía đối với $BC, O$ và $B$ nằm cùng phía đối với $AC, O$ và $C$ nằm cùng phía với $AB$. Vậy $O$ nằm trong tam giác $ABC.$