Bài 32 trang 105 SBT Hình 10 nâng cao: Viết phương trình đường thẳng...

Viết phương trình đường thẳng

a) Qua $A(-2 ; 0)$ và tạo với đường thẳng $d: x+3y-3=0$ một góc $45^0$.

b) Qua $B(-1 ; 2)$ và tạo với đường thẳng $d: \left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y =  - 2t\end{array} \right.$ một góc 60⁰.

a) Đường thẳng $\Delta$ đi qua $A(-2 ; 0)$ có phương trình:

$\alpha (x + 2) + \beta y = 0$ hay $\alpha x + \beta y + 2\alpha  = 0  ({\alpha ^2} + {\beta ^2} \ne 0)$.

$\Delta$ tạo với $d$ góc $45^0$

 $\cos {45^0} =  \dfrac{{|\alpha  + 3\beta |}}{{\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} .\sqrt {10} }}$

$\Leftrightarrow    \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} =  \dfrac{{|\alpha  + 3\beta |}}{{\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} .\sqrt {10} }}$

$\begin{array}{l}\Leftrightarrow 5({\alpha ^2} + {\beta ^2}) = {(\alpha  + 3\beta )^2}\\\Leftrightarrow  2{\alpha ^2} - 3\alpha \beta  - 2{\beta ^2} = 0  \\  \Leftrightarrow    \left[ \begin{array}{l}\alpha  = 2\beta \\\alpha  =  -  \dfrac{1}{2}\beta .\end{array} \right.\end{array}$

Với $\alpha  = 2\beta$, chọn $\beta  = 1, \alpha  = 2$ ta được đường thẳng ${\Delta _1}: 2x + y + 4 = 0$.

Với $\alpha  =  -  \dfrac{1}{2}\beta$, ta chọn $\beta  =  - 2, \alpha  = 1$, ta được đường thẳng ${\Delta _2}: x - 2y + 2 = 0$.

b) Gọi $\overrightarrow u (a ; b)$ là vec tơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ cần tìm (${a^2} + {b^2} \ne 0$). $d$ có vec tơ chỉ phương $\overrightarrow v  = (3 ;  - 2)$.

$\Delta$ tạo với d góc 60⁰ khi và chỉ khi 

$\cos {60^0} =  \dfrac{{|3a - 2b|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2}} .\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow     \dfrac{1}{2} =  \dfrac{{|3a - 2b|}}{{\sqrt {13} .\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \\   \Leftrightarrow    13({a^2} + {b^2}) = 4{(3a - 2b)^2}\\ \Leftrightarrow   23{a^2} - 48ab + 3{b^2} = 0\\ \Leftrightarrow   \left[ \begin{array}{l}a =  \dfrac{{24 - \sqrt {507} }}{{23}}b\\a =  \dfrac{{24 + \sqrt {507} }}{{23}}b\end{array} \right.\end{array}$

Với $a =  \dfrac{{24 - \sqrt {507} }}{{23}}b$, chọn $b = 1, a =  \dfrac{{24 - \sqrt {507} }}{{23}}$, ta được đường thẳng

${\Delta _1}: \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 +  \dfrac{{24 - \sqrt {507} }}{{23}}t\\y = 2 + t\end{array} \right.$

Với $a =  \dfrac{{24 + \sqrt {507} }}{{23}}b$, ta chọn $b = 1, a =  \dfrac{{24 + \sqrt {507} }}{{23}}$, ta được đường thẳng

${\Delta _2}: \left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 +  \dfrac{{24 + \sqrt {507} }}{{23}}t\\y = 2 + t\end{array} \right.$.