Viết phương trình đường thẳng
a) Qua \(A(-2 ; 0)\) và tạo với đường thẳng \(d: x+3y-3=0\) một góc \(45^0\).
b) Qua \(B(-1 ; 2)\) và tạo với đường thẳng \(d: \left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = - 2t\end{array} \right.\) một góc 600.
a) Đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A(-2 ; 0)\) có phương trình:
\(\alpha (x + 2) + \beta y = 0\) hay \(\alpha x + \beta y + 2\alpha = 0 ({\alpha ^2} + {\beta ^2} \ne 0)\).
\(\Delta \) tạo với \(d\) góc \(45^0\)
\(\cos {45^0} = \dfrac{{|\alpha + 3\beta |}}{{\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} .\sqrt {10} }}\)
\(\Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{|\alpha + 3\beta |}}{{\sqrt {{\alpha ^2} + {\beta ^2}} .\sqrt {10} }}\)
\(\begin{array}{l}\Leftrightarrow 5({\alpha ^2} + {\beta ^2}) = {(\alpha + 3\beta )^2}\\\Leftrightarrow 2{\alpha ^2} - 3\alpha \beta - 2{\beta ^2} = 0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\alpha = 2\beta \\\alpha = - \dfrac{1}{2}\beta .\end{array} \right.\end{array}\)
Với \(\alpha = 2\beta \), chọn \(\beta = 1, \alpha = 2\) ta được đường thẳng \({\Delta _1}: 2x + y + 4 = 0\).
Advertisements (Quảng cáo)
Với \(\alpha = - \dfrac{1}{2}\beta \), ta chọn \(\beta = - 2, \alpha = 1\), ta được đường thẳng \({\Delta _2}: x - 2y + 2 = 0\).
b) Gọi \(\overrightarrow u (a ; b)\) là vec tơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \) cần tìm (\({a^2} + {b^2} \ne 0\)). \(d\) có vec tơ chỉ phương \(\overrightarrow v = (3 ; - 2)\).
\(\Delta \) tạo với d góc 600 khi và chỉ khi
\(\cos {60^0} = \dfrac{{|3a - 2b|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2}} .\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{{|3a - 2b|}}{{\sqrt {13} .\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} \\ \Leftrightarrow 13({a^2} + {b^2}) = 4{(3a - 2b)^2}\\ \Leftrightarrow 23{a^2} - 48ab + 3{b^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \dfrac{{24 - \sqrt {507} }}{{23}}b\\a = \dfrac{{24 + \sqrt {507} }}{{23}}b\end{array} \right.\end{array}\)
Với \(a = \dfrac{{24 - \sqrt {507} }}{{23}}b\), chọn \(b = 1, a = \dfrac{{24 - \sqrt {507} }}{{23}}\), ta được đường thẳng
\({\Delta _1}: \left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + \dfrac{{24 - \sqrt {507} }}{{23}}t\\y = 2 + t\end{array} \right.\)
Với \(a = \dfrac{{24 + \sqrt {507} }}{{23}}b\), ta chọn \(b = 1, a = \dfrac{{24 + \sqrt {507} }}{{23}}\), ta được đường thẳng
\({\Delta _2}: \left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + \dfrac{{24 + \sqrt {507} }}{{23}}t\\y = 2 + t\end{array} \right.\).