Bài 33 trang 105 SBT Hình học 10 Nâng cao: Bài 3. Khoảng cách và góc....

Xác định các giá trị của $a$ để góc tạo bởi hai đường thẳng $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + at\\y = 1 - 2t\end{array} \right.$ và $3x+4y+12=0$ bằng $45^0$.

Đường thẳng ${\Delta _1}: \left\{ \begin{array}{l}x = 2 + at\\y = 1 - 2t\end{array} \right.$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u (a ;  - 2)$, đường thẳng ${\Delta _2}: 3x + 4y + 12 = 0$ có vec tơ chỉ phương $\overrightarrow v (4 ;  - 3)$. Góc giữa ${\Delta _1}, {\Delta _2}$ bằng $45^0$ khi và chỉ khi

$\begin{array}{l}\cos {45^0} =  \dfrac{{|4a + 6|}}{{\sqrt {{a^2} + {2^2}} .\sqrt {{4^2} + {3^2}} }}\\\Leftrightarrow    \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} =  \dfrac{{|4a + 6|}}{{5\sqrt {{a^2} + 4} }}\\ \Leftrightarrow   25({a^2} + 4) = 2{(4a + 6)^2}\\ \Leftrightarrow   7{a^2} + 96a - 28 = 0\\ \Leftrightarrow   \left[ \begin{array}{l}a =  \dfrac{2}{7}\\a =  - 14.\end{array} \right.\end{array}$

Có hai giá trị cần tìm là $a =  \dfrac{2}{7}$ và $a=-14.$