Bài 59 trang 48 SBT Hình học 10 Nâng cao:  ...

a) ${b^2} - {c^2} = a(b\cos C - c\cos B).$

b) $({b^2} - {c^2})\cos A = a(c\cos C - b\cos B)$.

c) $\sin C = \sin A\cos B + \sin B\cos A$.

Giải

a) Ta có

$\begin{array}{l}{b^2} - {c^2} = ({a^2} + {c^2} - 2ac.\cos B) - ({a^2} + {b^2} - 2ab.\cos C)\\= {c^2} - {b^2} + 2a(b\cos C - c\cos B).\end{array}$

Từ đó ta được $2({b^2} - {c^2}) = 2a(b\cos C - c\cos B)$, suy ra ${b^2} - {c^2} = a(b\cos C - c\cos B).$

b)

$\begin{array}{l}a(c\cos C - b\cos B) = ac\dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} - ab\dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\\= \dfrac{1}{{2bc}}\left[ {{c^2}({a^2} + {b^2} - {c^2}) - {b^2}({a^2} + {c^2} - {b^2})} \right]\\= \dfrac{1}{{2bc}}\left[ {{a^2}({c^2} - {b^2}) + ({b^2} - {c^2})({b^2} + {c^2})} \right]\\= ({b^2} - {c^2})\dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} = ({b^2} - {c^2})\cos A.\end{array}$

c) Đẳng thức cần chứng minh tương đương với đẳng thức

$2R\sin C = 2R\sin A\cos B + 2R\sin B\cos A$    hay  $c = a\cos B + b\cos A$.

(h.54). Ta có ${\overrightarrow {AB} ^2} = \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CB} } \right)$

$= \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC}.$

Suy ra ${c^2} = bc.\cos A + ac.\cos B$ dẫn  đến $c = b.\cos A + a.\cos B$