Bài 62 trang 48 SBT Hình 10 nâng cao:  ...

Tìm quỹ tích những điểm có tổng bình phương các khoảng cách đến bốn đỉnh của một tứ giác bằng $k^2$ không đổi.

Giải

Xét tứ giác $ABCD$. Gọi $I, J$ lần lượ là trung điểm của $AB, CD$ và $G$ là trung điểm cùa $IJ$ (h.56). Với mỗi điểm $M,$ ta đều có:

$\begin{array}{l}M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2}\\ = 2M{I^2} + \dfrac{{A{B^2}}}{2} + 2M{J^2} + \dfrac{{C{D^2}}}{2}\\= 2\left( {2M{G^2} + \dfrac{{I{J^2}}}{2}} \right) + \dfrac{{A{B^2} + C{D^2}}}{2}\\= 4M{G^2} + \dfrac{{A{B^2} + C{D^2}}}{2} + I{J^2}.\end{array}$

Từ đó suy ra

$M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2}$

$= {k^2} \Leftrightarrow   4M{G^2}$

$= {k^2} - \left( {\dfrac{{A{B^2} + C{D^2}}}{2} + I{J^2}} \right)$ không đổi.

Từ đó ta có:

Nếu ${k^2} - \left( {\dfrac{{A{B^2} + C{D^2}}}{2} + I{J^2}} \right) > 0$ thì quỹ tích điểm M là đường tròn tâm G, bán kính $r = \sqrt {\dfrac{{{k^2} - \left( {\dfrac{{A{B^2} + C{D^2}}}{2} + I{J^2}} \right)}}{4}}$.

Nếu ${k^2} = \left( {\dfrac{{A{B^2} + C{D^2}}}{2} + I{J^2}} \right)$ thì quỹ tích điểm M là một điểm G.

Nếu ${k^2} - \left( {\dfrac{{A{B^2} + C{D^2}}}{2} + I{J^2}} \right) < 0$ thì qỹ tích điểm M là tập rỗng.