Advertisements (Quảng cáo)
Tìm quỹ tích những điểm có tổng bình phương các khoảng cách đến bốn đỉnh của một tứ giác bằng \(k^2\) không đổi.
Giải
Xét tứ giác \(ABCD\). Gọi \(I, J\) lần lượ là trung điểm của \(AB, CD\) và \(G\) là trung điểm cùa \(IJ\) (h.56). Với mỗi điểm \(M,\) ta đều có:
\(\begin{array}{l}M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2}\\ = 2M{I^2} + \dfrac{{A{B^2}}}{2} + 2M{J^2} + \dfrac{{C{D^2}}}{2}\\= 2\left( {2M{G^2} + \dfrac{{I{J^2}}}{2}} \right) + \dfrac{{A{B^2} + C{D^2}}}{2}\\= 4M{G^2} + \dfrac{{A{B^2} + C{D^2}}}{2} + I{J^2}.\end{array}\)
Từ đó suy ra
\(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2}\)
\(= {k^2} \Leftrightarrow 4M{G^2}\)
Advertisements (Quảng cáo)
\(= {k^2} – \left( {\dfrac{{A{B^2} + C{D^2}}}{2} + I{J^2}} \right)\) không đổi.
Từ đó ta có:
Nếu \({k^2} – \left( {\dfrac{{A{B^2} + C{D^2}}}{2} + I{J^2}} \right) > 0\) thì quỹ tích điểm M là đường tròn tâm G, bán kính \(r = \sqrt {\dfrac{{{k^2} – \left( {\dfrac{{A{B^2} + C{D^2}}}{2} + I{J^2}} \right)}}{4}} \).
Nếu \({k^2} = \left( {\dfrac{{A{B^2} + C{D^2}}}{2} + I{J^2}} \right)\) thì quỹ tích điểm M là một điểm G.
Nếu \({k^2} – \left( {\dfrac{{A{B^2} + C{D^2}}}{2} + I{J^2}} \right) < 0\) thì qỹ tích điểm M là tập rỗng.