Bài 63 trang 48 Sách bài tập Toán Nâng cao Hình 10:  ...

Chứng minh rằng hai trung tuyến kẻ từ $B$ và $C$ của tam giác $ABC$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi có hệ thức sau:

$\cot A = 2(\cot B + \cot C).$

Giải

Gọi $G$ là trọng tâm tam giác ABC (h.57).

Khi đó $GB \bot GC   \Leftrightarrow {a^2} = \dfrac{4}{9}\left( {m_b^2 + m_c^2} \right)$

$\begin{array}{l}\Leftrightarrow   9{a^2} = 4\left( {\dfrac{{{a^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{b^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - \dfrac{{{c^2}}}{4}} \right)\\ \Leftrightarrow   9{a^2} = 4{a^2} + {b^2} + {c^2}\\\Leftrightarrow   5{a^2} = {b^2} + {c^2}.\end{array}$

Biến đổi đẳng thức $\cot A = 2\left( {\cot B + \cot C} \right)$

$\Leftrightarrow   \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{abc}}R$

$= 2\left( {\dfrac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{abc}}R + \dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{abc}}R} \right)$ ( theo bài 58).

$\Leftrightarrow   {b^2} + {c^2} = 5{a^2}$.

Vậy $GB \bot GC$

$\Leftrightarrow   \cot A = 2\left( {\cot B + \cot C} \right)$.