Trang chủ Lớp 10 SBT Toán 10 Nâng cao Bài 63 trang 48 Sách bài tập Toán Nâng cao Hình 10:...

Bài 63 trang 48 Sách bài tập Toán Nâng cao Hình 10:  ...

Bài 63 trang 48 SBT Hình học 10 Nâng cao. \(\Leftrightarrow   \cot A = 2\left( {\cot B + \cot C} \right)\).. Bài 3. Hệ thức lượng trong tam giác.

Advertisements (Quảng cáo)

Chứng minh rằng hai trung tuyến kẻ từ \(B\) và \(C\) của tam giác \(ABC\) vuông góc với nhau khi và chỉ khi có hệ thức sau:

\(\cot A = 2(\cot B + \cot C).\)

Giải

 

Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác ABC (h.57).

Khi đó \(GB \bot GC   \Leftrightarrow {a^2} = \dfrac{4}{9}\left( {m_b^2 + m_c^2} \right)\)

\(\begin{array}{l}\Leftrightarrow   9{a^2} = 4\left( {\dfrac{{{a^2} + {c^2}}}{2} – \dfrac{{{b^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} – \dfrac{{{c^2}}}{4}} \right)\\ \Leftrightarrow   9{a^2} = 4{a^2} + {b^2} + {c^2}\\\Leftrightarrow   5{a^2} = {b^2} + {c^2}.\end{array}\)

Biến đổi đẳng thức \(\cot A = 2\left( {\cot B + \cot C} \right)\)

Advertisements (Quảng cáo)

\( \Leftrightarrow   \dfrac{{{b^2} + {c^2} – {a^2}}}{{abc}}R\)

\(= 2\left( {\dfrac{{{a^2} + {c^2} – {b^2}}}{{abc}}R + \dfrac{{{a^2} + {b^2} – {c^2}}}{{abc}}R} \right)\) ( theo bài 58).

\( \Leftrightarrow   {b^2} + {c^2} = 5{a^2}\).

Vậy \(GB \bot GC\)

\(\Leftrightarrow   \cot A = 2\left( {\cot B + \cot C} \right)\).