Bài 65 trang 48 SBT Hình học 10 Nâng cao: Chứng minh rằng trong mỗi tam giác, khoảng cách d từ tâm đường tròn nội tiếp đến tâm đường tròn ngoại tiếp thỏa mãn hệ thức:...

Chứng minh rằng trong mỗi tam giác, khoảng cách d từ tâm đường tròn nội tiếp đến tâm đường tròn ngoại tiếp thỏa mãn hệ thức:

${d^2} = {R^2} - 2Rr$.  ( Hệ thức Ơ-le)

Giải

(h.58).

Xét tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O ; R)$ và ngoại tiếp đường tròn $(I ; r)$.

Gọi $D, E$ lần lượt là điểm chính giữa cung $\stackrel\frown {BC}$ và cung $\stackrel\frown {AC}$ thì $OD \bot BC ,  \widehat {BAD} = \dfrac{{\widehat A}}{2}$.

Mặt khác , ta có

$\widehat {BID} = \dfrac{1}{2}$(sđ$\stackrel\frown {BD}$ +sđ $\stackrel\frown {AE}$) \)

$= \dfrac{1}{2}$(sđ $\stackrel\frown {DC}$ + sđ $\stackrel\frown {EC}$) = $\dfrac{1}{2}$(sđ$\stackrel\frown {DCE}$ ).

Vậy $\widehat {BID} = \widehat {IBD}$, suy ra $ID = BD = 2R\sin \dfrac{A}{2}$.

Trong tam giác OID ta có $O{I^2} = I{D^2} + O{D^2} - 2\overrightarrow {DI} .\overrightarrow {DO}$.$\Rightarrow   O{I^2} = 4R{\sin ^2}\dfrac{A}{2} + {R^2} - 2\overrightarrow {DO} .\overrightarrow {DH}$    (với $IH \bot OD$).

Dễ thấy

$\overrightarrow {DO} .\overrightarrow {DH}  = DO.(DJ + JH)$

$= R\left( {BD\sin \dfrac{A}{2} + r} \right)$

$= R\left( {2R{{\sin }^2}\dfrac{A}{2} + r} \right)$

$= 2{R^2}{\sin ^2}\dfrac{A}{2} + Rr$.

Từ đó suy ra ${d^2} = {R^2} - Rr$.