Advertisements (Quảng cáo)
a. Chứng minh rằng \({a^2} + {b^2} – ab \ge 0\) với mọi a, b ∈ R.
Khi nào đẳng thức xảy ra ?
b. Chứng minh rằng nếu a ≥ b thì \({a^3} – {b^3} \ge a{b^2} – {a^2}b\) với mọi a, b ∈ R.
:
a. \({a^2} + {b^2} – ab = {\left( {a – \dfrac{b}{2}} \right)^2} + \dfrac{{3{b^2}}}{4} \ge 0\) với mọi a, b ϵ R.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {{\rm{a}} – \dfrac{b}{2}} \right)}^2} = 0}\\{\dfrac{{3{b^2}}}{4} = 0}\end{array}} \right.\,hay\,a = b = 0.\)
b.
\(\begin{array}{l}{a^3} – {b^3} – \left( {{\rm{a}}{b^2} – {a^2}b} \right)\\ = a\left( {{{\rm{a}}^2} – {b^2}} \right) + b\left( {{{\rm{a}}^2} – {b^2}} \right)\\ = \left( {{\rm{a}} + b} \right)\left( {{{\rm{a}}^2} – {b^2}} \right)\\ = \left( {{\rm{a}} – b} \right){\left( {{\rm{a}} + b} \right)^2}.\end{array}\)
Do a ≥ b nên \(\left( {{\rm{a}} – b} \right){\left( {{\rm{a}} + b} \right)^2} \ge 0,\) ta có điều phải chứng minh.