Câu 4.16 trang 104 SBT Đại số 10 Nâng cao: Do đó...

Để chứng minh $x\left( {1 - x} \right) \le \dfrac{1}{4}$ với mọi x, bạn An đã làm như sau :

Áp dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân cho hai số $x$ và $1 – x$, ta có

$\sqrt {{\rm{x}}\left( {1 - x} \right)}  \le \dfrac{{{\rm{x}} + 1 - x}}{2} = \dfrac{1}{2}$

Do đó

$x\left( {1 - x} \right) \le \dfrac{1}{4}$

Theo em, bạn An giải như thế đúng hay sai, vì sao ? Em giải bài này như thế nào ?

:

Bạn An giải như vậy là sai.

Sai lầm của bạn An là không để ý điều kiện của các số a, b trong bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân $\dfrac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {{\rm{a}}b}$ là $a ≥ 0, b ≥ 0$. Trong bài này $x$ và $1 – x$ chỉ không âm khi $x \in \left[ {0;1} \right].$

Lời giải đúng là :

$x\left( {1 - x} \right) \le \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow  - {x^2} + {\rm{x}} \le \dfrac{1}{4}$

$\Leftrightarrow {x^2} - x + \dfrac{1}{4} \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {{\rm{x}} - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \ge 0,$ bất đẳng thức này hiển nhiên đúng với mọi x.