Câu 4.2 trang 102 SBT Đại số 10 Nâng cao: Chứng minh rằng...

Chứng minh rằng

a. ${a^4} + {b^4} \ge {a^3}b + a{b^3}$ với mọi a, b ∈ R.

b. ${\left( {{\rm{a}} + b + c} \right)^2} \le 3\left( {{{\rm{a}}^2} + {b^2} + {c^2}} \right)$ với mọi a, b, c ∈ R.

:

a.

$\begin{array}{l}{a^4} + {b^4} - {a^3}b - a{b^3}\\ = {a^3}\left( {{\rm{a}} - b} \right) + {b^3}\left( {b - a} \right)\\ = \left( {{\rm{a}} - b} \right)\left( {{{\rm{a}}^3} - {b^3}} \right)\\ = {\left( {{\rm{a}} - b} \right)^2}\left( {{{\rm{a}}^2} + {b^2} + ab} \right) \ge 0.\end{array}$

(Vì ${a^2} + {b^2} + ab = {\left( {{\rm{a}} + \dfrac{b}{2}} \right)^2} + \dfrac{{3{b^2}}}{4} \ge 0$ và ${\left( {{\rm{a}} - b} \right)^2} \ge 0$ với mọi a, b ∈ R)

b.

$\begin{array}{l}{\left( {{\rm{a}} + b + c} \right)^2} \le 3\left( {{{\rm{a}}^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\ \Leftrightarrow {{\rm{a}}^2} + {b^2} + {c^2} + 2{\rm{a}}b + 2{\rm{a}}c + 2bc \le 3{{\rm{a}}^2} + 3{b^2} + 3{c^2}\\ \Leftrightarrow {{\rm{a}}^2} + {b^2} + {c^2} - ab - ac - bc \ge 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{\rm{a}} - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} \ge 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\end{array}$

Bất đẳng thức (2) luôn đúng nên bất đẳng thức (1) được chứng minh.