Câu 4.4 trang 103 Sách bài tập nâng cao Đại lớp 10: Bài 1. Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức...

Cho a, b, c, d là bốn số dương và $\dfrac{a}{b} < \dfrac{c}{d}.$ Chứng minh rằng

a. $\dfrac{{a + b}}{b} < \dfrac{{c + {\rm{d}}}}{d}$

b. $\dfrac{{a + b}}{a} > \dfrac{{c + {\rm{d}}}}{c}$

:

a. Từ $\dfrac{a}{b} < \dfrac{c}{d}\,suy\,ra\,\dfrac{a}{b} + 1 < \dfrac{c}{d} + 1$ tức là $\dfrac{{a + b}}{b} < \dfrac{{c + {\rm{d}}}}{d}.$

b. Từ $\dfrac{a}{b} < \dfrac{c}{d}\,$ và a, b, c, d là bốn số dương nên $\dfrac{b}{a} > \dfrac{{\rm{d}}}{c},$ suy ra $\dfrac{b}{a} + 1 > \dfrac{{\rm{d}}}{c} + 1,$ tức là $\dfrac{{b + a}}{a} > \dfrac{{{\rm{d}} + c}}{c}$