Bài 29 trang 9 SBT Hình 12 Nâng Cao: Cho khối lăng trụ...

Cho khối lăng trụ ABC.A₁B₁C₁ có đáy ABC là tam giác vuông cân với cạnh huyền AB bằng $\sqrt 2$. Cho biết mặt phẳng $\left( {A{A_1}B} \right)$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$,${\rm{A}}{{\rm{A}}_1} = \sqrt 3$, góc $\widehat {{A_1}AB}$ nhọn , góc giữa mặt phẳng $\left( {{A_1}AC} \right)$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ bằng 60⁰.

Hãy tính thể tích khối lăng trụ.

(h.12)

Hạ ${A_1}K \bot AB$ ( với $K \in AB)$ thì ${A_1}K \bot \left( {ABC} \right)$. Vì $\widehat {{A_1}AB}$ nhọn nên K thuộc tia AB.

Kẻ $KM \bot AC$ thì ${A_1}M \bot AC$ (định lí ba đường vuông góc ), do đó $\widehat {{A_1}MK}$ = 60⁰,

Giả sử ${A_1}K = x$, ta có :

$\eqalign{  & AK = \sqrt {{A_1}{A^2} - {A_1}{K^2}}  = \sqrt {3 - {x^2}} ,  \cr  &  \cr}$

$MK = AK.\sin \widehat {KAM}$

          $=\sqrt {3 - {x^2}} .\sin {45^0} = {{\sqrt 2 } \over 2}\sqrt {3 - {x^2}} .$

Mặt khác, $MK = {A_1}K.\cot {60^0} = {x \over {\sqrt 3 }},$ suy ra

${{\sqrt{2.\left( {3 - {x^2}} \right)} \over {2}}}  = {x \over {\sqrt 3 }} \Rightarrow x = {3 \over {\sqrt 5 }}.$

Vậy ${V_{ABC.{A_1}{B_1}{C_1}}} = {S_{ABC}}.{A_1}K$

                              $= {1 \over 2}AC.CB.{A_1}K = {{3\sqrt 5 } \over {10}}$