Bài 33 trang 10 SBT Hình 12 Nâng Cao: Cho khối chóp tam giác đều...

Cho khối chóp tam giác đều $S.ABC$ có chiều cao bằng h và góc ASB bằng $2\varphi$. Hãy tính thể tích khối chóp.

(h.17)

Giả sử O là tâm của tam giác đều ABC.

Khi đó $SO \bot \left( {ABC} \right)$ và SO = h.

Gọi K là trung điểm của AB. Đặt AK = x.

Khi đó $\eqalign{  & SK = x\cot \varphi ;\;OK = xtan{30^0} = {x \over {\sqrt 3 }}.  \cr  & {h^2} = S{K^2} - O{K^2} = {{{x^2}} \over 3}(3{\cot ^2}\varphi  - 1)  \cr  &  \Rightarrow {x^2} = {{3{h^2}} \over {3{{\cot }^2}\varphi  - 1}}. \cr}$

Ta có: $\eqalign{  & {S_{ABC}} = {{A{B^2}\sin {{60}^0}} \over 2} = {x^2}\sqrt 3 ,  \cr  &  \Rightarrow {V_{S.ABC}} = {1 \over 3}{S_{ABC}}.h = {{{x^2}\sqrt 3 } \over 3}h = {{{h^3}\sqrt 3 } \over {3{{\cot }^2}\varphi  - 1}}. \cr}$