Bài 34 trang 10 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao: Khối chóp S.ABC...

Khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và $SA \bot \left( {ABC} \right),SC = a.$ Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SCB} \right)$và $\left( {ABC} \right)$ để thể tích khối chóp là lớn nhất.

Ta có $BC \bot AC$ nên $BC \bot SC$ (định lý ba đường vuông góc), suy ra góc $SCA$ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SCB} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$. Đặt $\widehat {SCA} = x\left( {0 < x < {\pi  \over 2}} \right)$

Khi đó :

$\eqalign{  & SA = a{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}},AC = acosx.  \cr  & {V_{S.ABC}} = {{a{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \over 3}.{{{a^2}{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x} \over 2} = {{{a^3}} \over 6}{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}x}.co{s^2}x. \cr}$

Xét hàm số $y\left( x \right) = \sin {\rm{x}}{\cos ^2}x.$

Ta có :

$\eqalign{  y’\left( x \right) &= co{s^3}x - 2{\mathop{\rm cosx}\nolimits} .s{\rm{i}}{{\rm{n}}^2}{\rm{x }}\cr&= \cos x\left( {co{s^2}x - 2 + 2co{s^2}x} \right)  \cr  &  = cosx\left( {3{{\cos }^2}x - 2} \right) \cr&= 3{\mathop{\rm cosx}\nolimits} \left( {{\mathop{\rm cosx}\nolimits}  - \sqrt {{2 \over 3}} } \right)\left( {\cos x + \sqrt {{2 \over 3}} } \right). \cr}$

Vì $0 < x < {\pi  \over 2}$ nên $\cos x\left( {{\mathop{\rm cosx}\nolimits}  + \sqrt {{2 \over 3}} } \right) > 0.$

Gọi $\alpha$ là góc sao cho $\cos \alpha  = \sqrt {{2 \over 3}} ,0 < \alpha  < {\pi  \over 2}.$

Ta có bảng biến thiên của hàm $y\left( x \right) = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}.{\cos ^2}x:$

Vậy V_S.ABC đạt giá trị lớn nhất khi $x = \alpha$ với $0 < \alpha  < {\pi  \over 2}$và $\cos \alpha  = \sqrt {{2 \over 3}} .$