Trang chủ Lớp 12 SBT Toán 12 Nâng cao Bài 36 trang 10 SBT Hình học lớp 12 Nâng Cao: Khối...

Bài 36 trang 10 SBT Hình học lớp 12 Nâng Cao: Khối chóp...

Khối chóp . Bài 36 trang 10 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao – Bài 4. Thể tích của khối đa diện

Khối chóp \(S.ABCD\)có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\); đáy là tam giác ABC cân tại A, độ dài trung tuyến AD bằng a, cạnh bên SB tạo với đáy một góc \( \alpha  \) và tạo với mặt \(\left( {SAD} \right)\) góc \(\beta \). Tính thể tích khối chóp.

(h.20)

Quảng cáo

AB là hình chiếu của SB trên \(mp\left( {ABC} \right)\) nên \(\widehat {SBA} = \alpha \)  Dễ thấy \(BD \bot \left( {SAD} \right)\) nên hình chiếu của SB trên \(mp\left( {SAD} \right)\) là SD \( \Rightarrow \)  \(\widehat {BSD} = \beta \)

Do SAB SDB là các tam giác vuông nên ta có \(SB = {{BD} \over {\sin \beta }},SB = {{AB} \over {\cos \alpha }},\) suy ra

\(\eqalign{   &{{A{B^2}} \over {{{\cos }^2}\alpha }} = {{B{D^2}} \over {{{\sin }^2}\beta }} = {{A{B^2} – B{D^2}} \over {{{\cos }^2}\alpha  – {{\sin }^2}\beta }} \cr&= {{{a^2}} \over {{{\cos }^2}\alpha  – {{\sin }^2}\beta }}  \cr  &  \Rightarrow BD = {{a\sin \beta } \over {\sqrt {{{\cos }^2}\alpha  – {{\sin }^2}\beta } }}, \cr} \)

\(\eqalign{  & SD = BD\cot \beta  = {{a\cos \beta } \over {\sqrt {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha  – {{\sin }^2}\beta } }},  \cr  & SA = \sqrt {S{D^2} – A{D^2}}  = {{a\sin \alpha } \over {\sqrt {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha  – {{\sin }^2}\beta } }}.  \cr  &  \cr} \)

Vậy :

\(\eqalign{  & {V_{S.ABC}} = {1 \over 3}{S_{ABC}}.SA  \cr  &  = {1 \over 3}.a.{{a\sin \beta } \over {\sqrt {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha  – {{\sin }^2}\beta } }}.{{a\sin \alpha } \over {\sqrt {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha  – {{\sin }^2}\beta } }}  \cr  &  = {{{a^3}\sin \alpha .\sin \beta } \over {3\left( {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha  – {{\sin }^2}\beta } \right)}}. \cr} \)

Quảng cáo