Bài 36 trang 10 SBT Hình học lớp 12 Nâng Cao: Khối chóp...

Khối chóp $S.ABCD$có $SA \bot \left( {ABC} \right)$; đáy là tam giác ABC cân tại A, độ dài trung tuyến AD bằng a, cạnh bên SB tạo với đáy một góc $\alpha$ và tạo với mặt $\left( {SAD} \right)$ góc $\beta$. Tính thể tích khối chóp.

(h.20)

AB là hình chiếu của SB trên $mp\left( {ABC} \right)$ nên $\widehat {SBA} = \alpha$  Dễ thấy $BD \bot \left( {SAD} \right)$ nên hình chiếu của SB trên $mp\left( {SAD} \right)$ là SD $\Rightarrow$  $\widehat {BSD} = \beta$

Do SAB và SDB là các tam giác vuông nên ta có $SB = {{BD} \over {\sin \beta }},SB = {{AB} \over {\cos \alpha }},$ suy ra

$\eqalign{   &{{A{B^2}} \over {{{\cos }^2}\alpha }} = {{B{D^2}} \over {{{\sin }^2}\beta }} = {{A{B^2} - B{D^2}} \over {{{\cos }^2}\alpha  - {{\sin }^2}\beta }} \cr&= {{{a^2}} \over {{{\cos }^2}\alpha  - {{\sin }^2}\beta }}  \cr  &  \Rightarrow BD = {{a\sin \beta } \over {\sqrt {{{\cos }^2}\alpha  - {{\sin }^2}\beta } }}, \cr}$

$\eqalign{  & SD = BD\cot \beta  = {{a\cos \beta } \over {\sqrt {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha  - {{\sin }^2}\beta } }},  \cr  & SA = \sqrt {S{D^2} - A{D^2}}  = {{a\sin \alpha } \over {\sqrt {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha  - {{\sin }^2}\beta } }}.  \cr  &  \cr}$

Vậy :

$\eqalign{  & {V_{S.ABC}} = {1 \over 3}{S_{ABC}}.SA  \cr  &  = {1 \over 3}.a.{{a\sin \beta } \over {\sqrt {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha  - {{\sin }^2}\beta } }}.{{a\sin \alpha } \over {\sqrt {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha  - {{\sin }^2}\beta } }}  \cr  &  = {{{a^3}\sin \alpha .\sin \beta } \over {3\left( {{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha  - {{\sin }^2}\beta } \right)}}. \cr}$