Trang chủ Lớp 12 SBT Toán 12 Nâng cao Bài 38 trang 10 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng...

Bài 38 trang 10 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao: Cho tứ diện ABCD....

Cho tứ diện ABCD. Bài 38 trang 10 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao – Bài 4. Thể tích của khối đa diện

Cho tứ diện ABCD. Gọi d là khoảng cách giữa hai đường thẳng AB CD, \(\alpha \) là góc giữa hai đường thẳng đó. Chứng minh rằng

\({V_{ABCD}} = {1 \over 6}AB.CD.d.\sin \alpha .\)

Cách 1.

Dựng hình hộp AEBF.MDNC ( gọi là hình hộp ngoại tiếp tứ diện ABCD) (h.22).

Vì \(\left( {AEBF} \right)//\left( {MDNC} \right)\) nên chiều cao của hình hộp bằng khoảng cách d giữa AB và CD.

Theo bài 37 ta có :

\({V_{ABCD}} = {1 \over 3}\) Vhộp

Quảng cáo

\(\eqalign{  &  = {1 \over 3}{S_{MDNC}}.d  \cr  &  = {1 \over 3}.{1 \over 2}MN.CD\sin \alpha .d = {1 \over 6}AB.CD.d\sin \alpha . \cr} \)

Cách 2. (h.23)

Dựng hình bình hành ABCE . Khi đó :

\({V_{A.BCD}} = {V_{E.BCD}}\) (do \(AE//\left( {BCD} \right)\))       (1)

\(\eqalign{  & {V_{E.BCD}} = {V_{B.ECD}}\;\;\;\;\;(2)  \cr  & {V_{B.ECD}} = {1 \over 3}{S_{ECD}}.d\left( {B,\left( {CDE} \right)} \right)\;\;\;(3)  \cr  &  \cr} \)

\({S_{ECD}} = {1 \over 2}CE.CD.\sin \widehat {ECD}\) 

          \(\eqalign{  &  = {1 \over 2}AB.CD\sin \alpha \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(4)     \cr} \)

\(d\left( {B,\left( {CDE} \right)} \right) = d\left( {AB,CD} \right)(\) do \(AB//\left( {CDE} \right))\;(5)\)

Từ (1), (2), (3), (4), (5) suy  ra :

\({V_{ABCD}} = {1 \over 6}AB.CD.d\sin \alpha .\)

Quảng cáo