Trang chủ Lớp 12 SBT Toán 12 Nâng cao Bài 41 trang 10 Sách bài tập Toán Hình 12 NC: Cho...

Bài 41 trang 10 Sách bài tập Toán Hình 12 NC: Cho khối lăng trụ tam giác...

Cho khối lăng trụ tam giác . Bài 41 trang 10 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao – Bài 4. Thể tích của khối đa diện

Advertisements (Quảng cáo)

Cho khối lăng trụ tam giác \(ABC.A’B’C’\) có cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng h. Tính thể tích khối chóp A.BC’A’.

(h.26) Cách 1.

\(AC//A’C’ \Rightarrow AC//\left( {BC’A’} \right).\) Gọi I là trung điểm của AC thì

\(d\left( {A,\left( {BC’A’} \right)} \right) = d\left( {I,\left( {BC’A’} \right)} \right).\)

Gọi I’ là trung điểm của A’C’ thì rõ ràng \(BI’ \bot A’C’,\) mặt khác \(II’ \bot A’C’\) nên \(A’C’ \bot \left( {IBI’} \right).\)

Vậy khi ta hạ \(IH \bot BI’\) thì \(A’C’ \bot IH.\)

Từ đó suy ra \(IH \bot \left( {BC’A’} \right),\) tức là \(d\left( {A,\left( {BC’A’} \right)} \right) = IH.\)

Advertisements (Quảng cáo)

Ta có :

\(\eqalign{  & IH = {{IB.II’} \over {BI’}} = {{a.{{\sqrt 3 } \over 2}.h} \over {\sqrt {3.{{{a^2}} \over 4} + {h^2}} }} = {{\sqrt 3 ah} \over {\sqrt {3{a^2} + 4{h^2}} }},  \cr  & {S_{BC’A’}} = {1 \over 2}BI’.C’A’ = {1 \over 2}\sqrt {{{3{a^2}} \over 4} + {h^2}} .a \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= {1 \over 4}a\sqrt {3{a^2} + 4{h^2}} . \cr} \)

Vậy

\({V_{A.BC’A’}} = {1 \over 3}.{1 \over 4}.a.\sqrt {3{a^2} + 4{h^2}} .{{\sqrt 3 ah} \over {\sqrt {3{a^2} + 4{h^2}} }} = {{\sqrt 3 {a^2}h} \over {12}}\)

Cách 2.

\(\eqalign{   {V_{A.BC’A’}} = {V_{B.AA’C’}}& = {1 \over 2}.{V_{B.AA’C’C}} \cr&= {1 \over 2}.{2 \over 3}.{V_{ABC.A’B’C’}}  \cr  &  = {1 \over 3}.{S_{ABC}}.h\cr& = {1 \over 3}.{{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}.h = {{{a^2}\sqrt 3 } \over {12}}.h \cr} \)