Trang chủ Lớp 12 SBT Toán 12 Nâng cao (sách cũ) Bài 44 trang 11 SBT Hình học lớp 12 Nâng Cao: Khối...

Bài 44 trang 11 SBT Hình học lớp 12 Nâng Cao: Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành....

Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Bài 44 trang 11 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao - Bài 4. Thể tích của khối đa diện

Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AD và SC. Chứng minh mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau.

(h.29).

Giả sử đường thẳng MN cắt CD và BC lần lượt tại K và I.

Dễ thấy :

 \(\eqalign{  & CK = {3 \over 2}CD,CI = {3 \over 2}CB,  \cr  & d\left( {P,\left( {ABC} \right)} \right) = {1 \over 2}d\left( {S,\left( {ABC} \right)} \right).  \cr  &  \cr} \)

\({V_{P.CIK}} = {1 \over 3}.{1 \over 2}CI.CK\sin \widehat {ICK} \) .\(d\left( {P,\left( {ABC} \right)} \right)\)

\( = {1 \over 3}.{1 \over 2}.{3 \over 2}CB.{3 \over 2}CD\sin \widehat {BCD} \) .\({1 \over 2}d\left( {S,(ABC)} \right)\)

Advertisements (Quảng cáo)

=\({9 \over {16}}({1 \over 3}CB.CD\sin \widehat {BCD} \) .\(d\left( {S,({\rm{ABC)}}} \right)\)

\( \Rightarrow {V_{P.CIK}} = {9 \over {16}}{V_{S.ABCD}}.\)

Ta có :

\(\eqalign{  & {{{V_{I.BEM}}} \over {{V_{I.CPK}}}} = {{IB} \over {IC}}.{{IE} \over {IP}}.{{IM} \over {IK}} = {1 \over 3}.{1 \over 2}.{1 \over 3} = {1 \over {18}}  \cr  &  \Rightarrow {V_{I.BEM}} = {1 \over {18}}{V_{I.CPK}} = {1 \over {18}}{V_{P.CIK}} \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= {1 \over {32}}{V_{S.ABCD}}. \cr} \)

Tương tự , ta cũng có \({V_{K.NDF}} = {1 \over {18}}{V_{P.CIK}} = {1 \over {32}}{V_{S.ABCD}}.\)

Vậy nếu gọi V2 là thể tích của phần khối chóp giới hạn bởi \(mp\left( {MNP} \right)\) với mặt phẳng đáy thì :

\(\eqalign{  & {V_2} = {V_{P.CIK}} - \left( {{V_{I.BEM}} + {V_{K.NDF}}} \right)  \cr  &  = {9 \over {16}}{V_{S.ABCD}} - \left( {{1 \over {32}}{V_{S.ABCD}} + {1 \over {32}}{V_{S.ABCD}}} \right)  \cr  &  = {9 \over {16}}{V_{S.ABCD}} - {1 \over {16}}{V_{S.ABCD}} = {1 \over 2}{V_{S.ABCD}}. \cr} \)

Vậy phần còn lại, tức là phần của khối chóp nằm trên \(mp\left( {MNP} \right)\), có thể tích V1 cũng bằng \({1 \over 2}{V_{S.ABCD}}\).

Do đó V= V2.

Bạn đang xem bài tập, chương trình học môn SBT Toán 12 Nâng cao (sách cũ). Vui lòng chọn môn học sách mới cần xem dưới đây: