a) Cho mặt cầu có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} – 6x – 2y + 4z + 5 = 0\) và điểm \({M_0}(4;3;0)\). Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm \({M_0}.\)
b) Viết phương trình mặt cầu có tâm I(-2;1;1) và tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có phương trình \(x + 2y – 2z + 5 = 0.\)
c) Cho bốn điểm \(A(3; – 2; – 2),B(3;2;0),C( – 1;1;2).\) Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với mặt phẳng (BCD).
d) Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm \(A(1;0;0),B(0;1;0),C(0;0;1)\) và có tâm I nằm trên mặt phẳng \(x + y + z – 3 = 0.\)
a) Dễ thấy điểm \({M_0}(4;3;0)\) thuộc mặt cầu và điểm \(I(3;1; – 2)\) là tâm mặt cầu. Do đó, mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm M0 là mặt phẳng đi qua điểm M0 với vec tơ pháp tuyến \(\overrightarrow {I{M_0}} \), nó có phương trình :
\(1.(x – 4) + 2(y – 3) + 2(z – 0) = 0\) hay \(x + 2y + 2z – 10 = 0.\)
b) Bán kính R của mặt cầu phải tìm bằng khoảng cách từ tâm I(-2;1;1) tới mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) nên \(R = {{\left| { – 2 + 2 – 2 + 5} \right|} \over {\sqrt {1 + 4 + 4} }} = 1.\)
Vậy phương trình mặt cầu là
\({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 1.\)
c) Ta có \(\overrightarrow {BC} = ( – 3;0;1),\overrightarrow {BD} = ( – 4; – 1;2) \)
\(\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right] = (1;2;3)\).
Vậy phương trình mặt phẳng (BCD) là :
\(1(x – 3) + 2(y – 2) + 3(z – 0) = 0\) hay \(x + 2y + 3z – 7 = 0.\)
Advertisements (Quảng cáo)
Gọi R là bán kính mặt cầu cần tìm, ta có :
\(R = d\left( {A,\left( {BCD} \right)} \right) = {{\left| {3 + 2( – 2) + 3( – 2) – 7} \right|} \over {\sqrt {1 + 4 + 9} }} = \sqrt {14} .\)
Vậy phương trình mặt cầu là :
\({\left( {x – 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 14.\)
d) Phương trình mặt cầu (S) phải tìm có dạng
\({x^2} + {y^2} + {z^2} – 2ax – 2by – 2cz + d = 0.\)
Ta có \(\eqalign{ & A \in (S) \Rightarrow 1 – 2a + d = 0, \cr & B \in (S) \Rightarrow 1 – 2b + d = 0, \cr & C \in (S) \Rightarrow 1 – 2c + d = 0. \cr} \)
Đồng thời tâm I(a; b; c) của mặt cầu thuộc mặt phẳng \(x + y + z – 3 = 0\) nên \(a + b + c – 3 = 0.\)
Giải hệ \(\left\{ \matrix{ 1 – 2a + d = 0 \hfill \cr 1 – 2b + d = 0 \hfill \cr 1 – 2c + d = 0 \hfill \cr a + b + c – 3 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow a = b = c = d = 1.\)
Vậy phương trình mặt cầu là
\({x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 2y – 2z + 1 = 0.\)