Bài 6 trang 116 Sách BT Hình 12 Nâng cao: Cho ba điểm A(2;5;3),B(0;1;2),C=(x;y;6)....

a) Cho ba điểm A(2;5;3), B(3;7;4),C=(x;y;6).

Tìm x, y để A, B, C thẳng hàng

b) Cho hai điểm A(-1;6;6), B(3;-6;-2).

Tìm điểm M thuộc $mp\left( {Oxy} \right)$ sao cho MA+MB nhỏ nhất.

a) A,B,C thẳng hàng$\Leftrightarrow \overrightarrow {AC}  = k\overrightarrow {AB}$

$\Rightarrow \left\{ \matrix{  x - 2 = k \hfill \cr  y - 5 = 2k \hfill \cr  3 = k \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{  x = 5 \hfill \cr  y = 11 \hfill \cr  k = 3 \hfill \cr}  \right.$

Vậy với x = 5, y = 11 thì A, B, C thẳng hàng.

b) Vì ${z_A} = 6,{z_B} =  - 2 \Rightarrow {z_A}.{z_B} < 0 \Rightarrow A,B$ ở hai phía của mp(Oxy).

Vậy MA + MB nhỏ nhất khi A, B, M thẳng hàng hay

$\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AB}$ cùng phương $\Leftrightarrow \left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \overrightarrow 0 .$

Ta có $\overrightarrow {AB}  =$ (4;-12;-8).

Giả sử M(x;y;0)$\in mp\left( {Oxy} \right)$ thì $\overrightarrow {AM}  = (x + 1;y - 6; - 6).$

$\eqalign{  & \left[ {\overrightarrow {AM} ,\overrightarrow {AB} } \right]\cr& = \left( {\left| \matrix{  y - 6 \hfill \cr   - 12 \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{   - 6 \hfill \cr   - 8 \hfill \cr}  \right|\left| \matrix{   - 6 \hfill \cr   - 8 \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  x + 1 \hfill \cr  4 \hfill \cr}  \right|;\left| \matrix{  x + 1 \hfill \cr  4 \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  y - 6 \hfill \cr   - 12 \hfill \cr}  \right|} \right)  \cr  &  = ( - 8y - 24;8x - 16; - 12x - 4y + 12). \cr}$

Ta có : $\left[ {\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow {AB} } \right] = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \left\{ \matrix{   - 8y - 24 = 0 \hfill \cr  8x - 16 = 0 \hfill \cr   - 12x - 4y + 12 = 0 \hfill \cr}  \right.$

$\Rightarrow \left\{ \matrix{  x = 2 \hfill \cr  y =  - 3. \hfill \cr}  \right.$

Vậy MA + MB ngắn nhất khi $M=(2;-3;0)$.