Advertisements (Quảng cáo)
Tính khoảng cách giữa các cặp đường thẳng sau :
\(\eqalign{ & a)\;\;{d_1}:\left\{ \matrix{ x = 1 + t \hfill \cr y = – 1 – t \hfill \cr z = 1 \hfill \cr} \right.{d_2}:\left\{ \matrix{ x = 2 – 3{t’} \hfill \cr y = – 2 + 3{t’} \hfill \cr z = 3{t’}. \hfill \cr} \right. \cr & b)\;\;{d_1}:{{x – 1} \over 2} = {{y + 3} \over 1} = {{z – 4} \over -2},\cr&\;\;\;\;\;{d_2}:{{x + 2} \over { – 4}} = {{y – 1} \over { – 2}} = {{z + 1} \over 4}; \cr & c)\;\;{d_1}:{{x – 1} \over 1} = {{y – 2} \over 2} = {{z – 3} \over 3},\cr&\;\;\;\;\;\;{d_2}:\left\{ \matrix{ x = 2 – t \hfill \cr y = – 1 + t \hfill \cr z = t \hfill \cr} \right.; \cr} \)
d) \({d_1}\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x + 3y – 4 = 0\) và \( \left( {\alpha ‘} \right):y + z – 4 = 0; \)
\( {d_2}:\left\{ \matrix{ x = 1 + 3t \hfill \cr y = 2 + t \hfill \cr z = – 1 + 2t \hfill \cr} \right. \)
a) Đường thẳng d1 đi qua điểm Mo( 1 ; -1 ; 1) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \) = (1 ; -1 ; 0). Đường thẳng d2 đi qua điểm M’o (2 ; – 2 ; 0) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {u ‘}\) = (-1 ; 1 ; 1). Vì \(\overrightarrow {{M_0}M{‘_0}} \) = (1 ; -1 ; -1) = \( – \overrightarrow {u’} \) nên hai đường thẳng đó cắt nhau, do đó khoảng cách giữa chúng bằng 0.
b) Hai đường thẳng song song.
Khoảng cách giữa chúng bằng khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này tới đường thẳng kia.
c) Cách 1. Đường thẳng d1 đi qua Mơ( 1 ; 2 ; 3) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \) (1 ; 2 ; 3).
Advertisements (Quảng cáo)
Đường thẳng d2 đi qua M’0 (2 ; -1 ; 0) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} \) (-1 ; 1 ; 1). Khoảng cách giữa d1 và d2 là
\(d({d_1},{d_2}) = {{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_0}M{‘_0}} } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = {{\sqrt {26} } \over {13}}.\)
Cách 2. Gọi (\(\alpha \)) là mặt phẳng chứa d2 và song song với d1. Khi đó, (\(\alpha \)) đi qua M’0 (2 ; – 1 ; 0) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right]\) = (-1 ; -4 ; 3).
Phương trình của mp(\(\alpha \)) là : x + 4y – 3z + 2 = 0
Vậy \(d({d_1},{d_2}) = d({M_0},(\alpha )) = {{\left| {1 + 4.2 – 3.3 + 2} \right|} \over {\sqrt {1 + 16 + 9} }} = {{\sqrt {26} } \over {13}}.\)
d) \(d({d_1},{d_2}) = \sqrt {13} .\)