Advertisements (Quảng cáo)
Viết phương trình đường vuông góc chung của các cặp đường thẳng sau :
\(\eqalign{ & a)\;\;d:{{x – 2} \over 2} = {{y – 3} \over 3} = {{z + 4} \over { – 5}},\cr&\;\;\;\;\;d’:{{x + 1} \over 3} = {{y – 4} \over { – 2}} = {{z – 4} \over { – 1}}; \cr & b)\;\;d:\left\{ \matrix{ x = 2 + t \hfill \cr y = 1 – t \hfill \cr z = 2t \hfill \cr} \right.d’:\left\{ \matrix{ x = 2 – 2t’. \hfill \cr y = 3 \hfill \cr z = t’. \hfill \cr} \right. \cr} \)
a) Cách 1: Ta có \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;3; – 5} \right),\overrightarrow {{u_{d’}}} = \left( {3; – 2; – 1} \right).\)
Khi đó vì \(\left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{u_{d’}}} } \right] = \left( { – 13; – 13; – 13} \right)\) nên đường vuông góc chung \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( {1;1;1} \right).\)
Gọi \(\left( \alpha \right)\) là mặt phẳng chứa d và \(\Delta \) thì \(\left( \alpha \right)\) đi qua \({M_o}(2;3; – 4)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow u } \right] = \left( {8, – 7, – 1} \right).\)
Có phương trình của mp\(\left( \alpha \right)\) là: \(8\left( {x – 2} \right) – 7\left( {y – 3} \right) – 1\left( {z + 4} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow 8x – 7y – z + 1 = 0.\)
Gọi \(\left( \beta \right)\) là mặt phẳng chứa \(d’\) và \(\Delta \) thì \(\left( \beta \right)\) đi qua điểm \(M_o’\left( { – 1;4;4} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_\beta }} = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {{u_{d’}}} } \right] = \left( {1;4; – 5} \right).\)
Phương trình của mp\(\left( \beta \right)\) là :\(1\left( {x + 1} \right) + 4\left( {y – 4} \right) – 5\left( {z – 4} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow x + 4y – 5z + 5 = 0.\)
Vậy đường vuông góc chung \(\Delta \) của \(d\) và \(d’\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( \beta \right)\) . Nó có phương trình tham số là:
\(\left\{ \matrix{ x = t \hfill \cr y = t \hfill \cr z = 1 + t. \hfill \cr} \right.\)
Cách 2: Điểm \(M \in d\) có toa độ là \(M = \left( {2 + 2t;3 + 3t; – 4 – 5t} \right).\)
Điểm \(N \in d’\) có toa độ là \(N = \left( { – 1 + 3t’;4 – 2t’;4 – t’} \right)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( { – 3 + 3t’ – 2t;1 – 2t’ – 3t;8 – t’ + 5t} \right).\)
MN là đường vuông góc chung của \(d\) và \(d’\) khi và chỉ khi
\(\left\{ \matrix{ \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_d}} = 0 \hfill \cr \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_{d’}}} = 0 \hfill \cr} \right.\)
Suy ra \(M = \left( {0;0;1} \right),N = \left( {2;2;3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {2;2;2} \right).\)
Vậy phương trình chính tắc của đường vuông góc chung \(\Delta \) là
\({x \over 1} = {y \over 1} = {{z – 1} \over 1}.\)
b) \({{x – 2} \over 1} = {{y – 3} \over 5} = {z \over 2}.\)