Trang chủ Lớp 12 SBT Toán 12 Nâng cao Bài 86 trang 137 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng...

Bài 86 trang 137 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao: Trong không gian tọa độ Oxyz cho A(1; 2; -1), B(-1; 1; 1),...

Trong không gian tọa độ Oxyz cho A(1; 2; -1), B(-1; 1; 1), C( 1; 0; 1).. Bài 86 trang 137 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao – Bài 3. Phương trình đường thẳng

Advertisements (Quảng cáo)

Trong không gian tọa độ Oxyz cho A(1; 2; -1), B(-1; 1; 1), C( 1; 0; 1).

a) Chứng minh OABC là 1 tứ diện vuông đỉnh O.

b) Chứng minh rằng ngoài điểm O còn có một điểm S duy nhất sao cho SABC là tứ diện vuông đỉnh S. Tìm tọa độ của S.

c) Mặt phẳng (Oxy) chia tam giác ABC thành 2 phần, tính tỉ số diện tích 2 phần đó.

d) Tính góc giữa mp(ABC) và mp(Oxy).

a) Ta có \(\overrightarrow {OA}  =(1 ; 2 ;-1)\), \(\overrightarrow {OB}  =(-1 ; 1 ; 1)\), \(\overrightarrow {OC}  = (1 ; 0 ; 1)\)

\(\eqalign{  &  \Rightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB}  = 0,\overrightarrow {OB} .\overrightarrow {OC}  = 0,\overrightarrow {OC} .\overrightarrow {OA}  = 0  \cr  &  \Rightarrow OA \bot OB,OB \bot OC,OC \bot OA. \cr} \)

b) Giả sử S(\(x{\rm{ }};y;{\rm{ }}z\)) là điểm thoả mãn điều kiện đầu bài. Ta có :

                    \(\eqalign{  & \overrightarrow {SA}  = \left( {1 – x;2 – y; – 1 – z} \right),  \cr  & \overrightarrow {SB}  = \left( { – 1 – x;1 – y;1 – z} \right),  \cr  & \overrightarrow {SC}  = \left( {1 – x; – y;1 – z} \right). \cr} \)

Ta có: \(\left\{ \matrix{  \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB}  = 0 \hfill \cr  \overrightarrow {SB} .\overrightarrow {SC}  = 0 \hfill \cr  \overrightarrow {SC} .\overrightarrow {SA}  = 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {x^2} + {y^2} + {z^2} – 3y = 0 \hfill \cr  {x^2} + {y^2} + {z^2} – y – 2z = 0 \hfill \cr  {x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x – 2y = 0 \hfill \cr}  \right.\)

Advertisements (Quảng cáo)

\(\left\{ \matrix{  y = z \hfill \cr  {x^2} + {y^2} + {z^2} – 3y = 0 \hfill \cr  y = 2x \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \left[ \matrix{  x = 0 \hfill \cr  x = {2 \over 3}. \hfill \cr}  \right.\)

Khi \(x = {\rm{ }}0\) thì \(y{\rm{ }} = z{\rm{ }} = {\rm{ }}0\), điểm S  trùng với điểm O.

Khi \(x = {\rm{ }}{2 \over 3}\) thì \(y{\rm{ }} = z{\rm{ }} = {\rm{ }}{4 \over 3}\), \(S = \left( {{2 \over 3};{4 \over 3};{4 \over 3}} \right)\) là điểm duy nhất khác O sao cho tứ diện SABC là tứ diện vuông.

c) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn AB, AC, tacó \(M = \left( {0;{3 \over 2};0} \right)\), \(N = (1;{\rm{ }}1{\rm{ }};{\rm{ }}0)\), suy ra M, N đều thuộc mp(Oxy). Như vậy mp(Oxy) cắt tam giác ABC theo đường trung bình MN, do đó chia tam giác ABC thành hai phần : tam giác AMN và hình thang MNCB. Rõ ràng là tỉ số diện tích hai phần đó là 1 : 3.

d) Ta có \(\overrightarrow {AB} \) = (-2 ; -1 ; 2), \(\overrightarrow {AC} \) = (0 ; -2 ; 2).

Vì \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right]\) = (2;4;4) nên mp (ABC) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {1;2;2} \right).\)

mp(Oxy) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k  = {\rm{ }}\left( {0{\rm{ }};{\rm{ }}0{\rm{ }};{\rm{ }}1} \right).\)

Gọi \((\varphi )\) là góc hợp bởi mp(ABC) và mp(Oxy) thì :

\(\cos \varphi  = {{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow k } \right|} \over {\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow k } \right|}} = {2 \over {\sqrt {1 + 4 + 4} }} = {2 \over 3}.\)