Advertisements (Quảng cáo)
Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng d1 đi qua điểm M1(-23;-10;0), có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \) (8 ; 4; 1) và đường thẳng d2 đi qua điểm M2(3; -2; 0), có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} (2; -2; 1)\).
a) Viết phương trình các mặt phẳng (P1), (P2) lần lượt đi qua d1, d2 và song song với nhau
b) Tính khoảng cách giữa d1 và d2.
c) Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) song song với Oz và cắt cả d1, d2.
a) Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_1}} = (8 ; 4 ; 1)\).
Đường thẳng d2 có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_2}} = (2 ; -2 ; 1)\).
Vì \(\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {6{\rm{ }};{\rm{ }} – 6{\rm{ }};{\rm{ }} – 24} \right)\) nên \(\overrightarrow n \) = (1 ; -1 ; -4) là một vectơ pháp tuyến của (P1) và (P2).
Mặt phẳng (P1) đi qua M1 (-23 ; -10 ; 0) nên có phương trình:
\(\left( {x + 23} \right) – \left( {y + 10} \right) – 4z = 0\) hay \(x – y – 4z + 13 = 0.\)
Mặt phẳng (P2) đi qua M2(3 ; -2 ; 0) nên có phương trình:
Advertisements (Quảng cáo)
\(\left( {x – 3} \right) – \left( {y + 2} \right) – 4z = 0\) hay \(x – y – 4z – 5 = 0.\)
b) Khoảng cách h giữa d1 và d2 bằng khoảng cách từ điểm M bất kì thuộc (P1) tới (P2). Lấy M = (0 ; 1 ; 3), ta có \(h = {{\left| { – 1 – 12 – 5} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {1^2} + {4^2}} }} = {{18} \over {\sqrt {18} }} = 3\sqrt {2.} \)
c) Gọi (\(\alpha \)) là mặt phẳng đi qua d1 và song song với Oz,
(\(\alpha \)) có phương trình : \(x{\rm{ }} – {\rm{ }}2y + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) (vì \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow k } \right]\)).
Tương tự, mặt phẳng (\(\beta \)) đi qua d2 và song song với Oz có phương trình :
\(x + y – {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) (vì \(\overrightarrow {{n_\beta }} = \left[ {\overrightarrow {{u_2}} ,\overrightarrow k } \right]\)).
Dễ thấy giao tuyến của hai mặt phẳng (\(\alpha \)) và (\(\beta \)) chính là đường thẳng \(\Delta \) cần tìm.
\(\Delta \) có phương trình là: \(\left\{ \matrix{ \hfill \cr x = {{ – 1} \over 3} \hfill \cr y = {4 \over 3} \hfill \cr z = t. \hfill \cr} \right.\)