Câu 1 trang 209 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao: Cho hàm số:...

Cho hàm số:

            $f\left( x \right) = 1 + x + {{{x^2}} \over 2} - {e^x}$

a) Chứng minh rằng $f’\left( x \right) < 0$ với mọi x < 0

b)  Chứng minh bất đẳng thức

            $1 + x < {e^x} + x + {{{x^2}} \over 2}$ với mọi x < 0

Hướng dẫn:

a) $f’\left( x \right) = 1 + x - {e^x},f”\left( x \right) = 1 - {e^x}$

$f”\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 0$

Dựa vào bảng biến thiên, ta có $f’\left( x \right) > 0$ với mọi x < 0.

b)  Từ a) suy ra f nghịch biến trên nửa khoảng$\left( { - \infty ;0} \right]$. Do đó

 $f(x) > f(0)$ , với mọi x < 0,

Hay $1 + x + {{{x^2}} \over 2} - {e^x} > 0$ với mọi x < 0

c) Từ b) suy ra

 $1 - 0,01 < {e^{ - 0,01}} < 1 - 0,01 + {{0,0001} \over 2}$ .